Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Парс Л.А. -> "Аналитическая динамика" -> 14

Аналитическая динамика - Парс Л.А.

Парс Л.А. Аналитическая динамика. Под редакцией Рубашева А.Н. — М.:Наука, 1971. — 636 c.
Скачать (прямая ссылка): analitdinamik1971.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 290 >> Следующая


X = Jd0-^a1 cosnt-\-a2 cos Int -f- . .. (1.3.11)

Нам нужно определить коэффициенты а0, Ct1, а2, ... С этой целью сначала разложим X (9) в РЯД Фурье:

X(Q) =-с0-+-c1 cos6 + с2 cos20 f . .. (1.3.12)

Здесь

о

я

¦ = !-Jx(6) cosr0d6,

*) Период можно также выразить формулой

ь

л (х)

a = 2j

У(6—ж) (ж—а)

г > 1.

dx,

в которой вместо ф (х) стоит 1/{Я (х)}2. Из нее можно получить приближенное выражение для периода: я {1K (а) -\-К (&)}. Это выражение можно также записать в виде-я (6— а)1/2 {[ф' (а)]_1,'2 + [— ф' (6)]~1/'2}. Оно дает точное значение периода, если Ma — ? cos 0) линейным образом зависит от 6.

26

ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

I Гл. X

Имеем

Є

*= j X(9dfc = Yeo9 + Cisin9 + y с2 sin 26 + ^ C3 sin 30-f- ... (1.3.13)

о

Отсюда

nt = 0 + б (1.3.14)

и

OO

б = б (0) = п 2 (c,/r) sinr0. (1.3.15)

T=i

Уравнение (1.3.14) связывает і и 6. Положим ф = nt; тогда точка R на рис. 1.2, где /iACR = ф, будет равномерно двигаться по окружности. Но 0 = ф — б и угол б геометрически представляет отклонение рассматриваемого либрационного движения от строго гармонического. Угол б обращается в нуль, и точка Q совпадает с R, когда R проходит через точки А ті В, т. е. когда t равно целому числу полупериодов.

Теперь определим коэффициенты ат. Поскольку

1

X = у а0 + cos ф f а2 cos 2ф-f • • (1.3.16)

мы имеем

я ь

Ch = — J" X cos гф гіф = — — ^ sin гф dx =

О а

Я я

= -|? j зіпгфзіпвгіе = -^- J {соз(гф + в) —соя(гф —9)}d9 (1.3.17)

о о

и, так как ф = 0 + 6, получаем

л

Ъ— а

j {cos [(г+1) 9 +гб]-cos [(г — 1)0 + гб]}гі0. (1.3.18)

2nr

o

Величина б есть известная функция от 6, определяемая формулой (1.3.15). Таким образом, коэффициенты ат в правой части (1.3.16) определены, на чем решение задачи заканчивается.

§ 1.4. Заданная сила не может быть функцией от ускорения. В § 1.1 мы видели, что заданная сила есть функция от положения, скорости и времени. Некоторые авторы *) пробовали построить более общую теорию, в которой X, Y, Z зависят не только от переменных х, у, z; х, у, z\ t, но еще от ускорений х, у, z. Эта идея, однако, несовместима « ньютоновой механикой и противоречит одному из ее важнейших постулатов. Для доказательства достаточно рассмотреть задачу о прямолинейном движении точки. Пусть точка массы m совершает движение вдоль оси Ох. Рассмотрим две силы: mq> ('/) и ттр (/), где

f = X — ускорение точки. Функции ф и if> могут зависеть также от х, и = х и і, но сейчас нас в первую очередь интересует зависимость их. от /. Рассмотрим три случая. В первом из них пусть точка находится под действием силы тц>, во втором — под действием силы тф и в третьем — под действием силы т (ф -f- if)). Значения х, и, t пусть будут одними и теми же во всех трех случаях. Обозначая через Z1, /2, /з ускорения в каждом из этих случаев, находим

h = ф (/і), (1.4.1)

h = 1> (/2), (1-4.2) _ U = <Р (Z3) + * (/,)¦ (1-4-3)

*) Например, Дж. Д. В и р к г о ф, Динамические системы, Гостехиздат, 1941, •стр. 17.

§ 1.5]

НЕСВОБОДНАЯ МАТЕРИАЛЬНАЯ ТОЧКА (СЛУЧАЙ I)

27

Первое, что обращает на себя внимание,— это то, что уравнение типа (1.4.1) не обязательно определяет ff единственным образом, что само по себе чуждо ньютоновой механике. Но даже если на это не обращать внимания и считать, что Z1, /2 и /3 определяются однозначно, то остаются еще гораздо более серьезные противоречия.

Фундаментальным постулатом ньютоновой механики является утверждение, что две силы, приложенные к материальной точке, производят такое же действие, как одна сила, равная их векторной сумме. Эквивалентно этому каждая сила сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы при отсутствии другой силы. Таким образом,

h = h + U- (1-4.4)

Из этого равенства и равенства (1.4.3) получаем

h + h = ф (/і + /2) + Ф (/і + /2). (1-4-5)

Теперь легко видеть, что в общем случае уравнения (1.4.1), (1.4.2) и (1.4.5) несовместны. Ибо (1.4.1) содержит только значение <р для Д, а (1.4.2) — значение if) для /2, причем ничего нельзя сказать о значениях ф или ф для Z1 + /2.

В качестве конкретного примера рассмотрим простой случай, когда функции ф и i|) линейны:

Ф (/) = Af + B, ij)(/) = Cf+D.

Можно считать, что А и С не равны нулю, а также единице и, стало быть, существуют единственные решения для Z1 и /2. Уравнения (1.4.1), (1.4.2) и (1.4.5), однако, будут совместны только в том случае, если

ВС (1 — С) + DA (1 — А) = 0.

Таким образом, силы, зависящие от ускорения, в ньютоновой динамике неприемлемы. Однако не исключено, что они могут встретиться в электродинамике, где высказанный выше постулат не имеет места.

§ 1.5. Несвободная материальная точка (случай I). Предположим теперь, что на частицу по-прежнему действует заданная сила (X, Y, Z), но частица несвободна и вынуждена находиться на заданной гладкой поверхности. Пусть эта связь будет двухсторонняя (неосвобождающая), а не односторонняя (освобождающая), когда частица может покинуть поверхность, по которой она движется. Двухсторонняя связь выражается равенством, тогда как односторонняя связь — неравенством.
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 290 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed