Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
і / V V о • fox . knu
Ф (Xt у) = L Blk а Ък sin -J- Sin .
i.k
Это — разложение функции ф(х, у) в двойной ряд Фурье по синусам; следовательно, коэффициенты этого ряда можно приравнять коэффициентам двойного ряда Фурье:
він а Ък = JH1 Jj Ф (*• У)sin ljT sin do’
а
откуда
= -шкг Я T5sin *%d°- <15>
а
Подставляя Alk и Blk из (14) и (15) в формулу (13), получим искомое решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям. Учитывая единственность решения, удовлетворяющего этим условиям, заключаем, что никаких других решений, кроме найденного, наша задача о колебании прямоугольной мембраны иметь не может.
Мы получили решение, записанное в форме двойного ряда. Его главный член
«и (*. 0 = (Al cos а Tn t +; Bn sin a ^11 /) sin ™ sin (13,,)
называется основным тоном колебания мембраны. Если бы все остальные члены ряда (13) отсутствовали и колебание происходило бы по закону (13,,), то мембрана в любой момент времени
Глава 2, § 9
269
имела бы форму поверхности и = Ki sin -у- sin ~ , где коэффициент /Cl (равный выражению в скобках в формуле (13и)) зависит от времени; его максимальное значение равно J/" А2ц-\- B2n (амплитуда основного тона). При этом каждая точка мембраны колеба-
Рис. 76
лась бы с частотой /1=-?1 или Z1 - ~ + J_ (так как
Th = тс JL. . В частности, если мембрана квадратная
(т = /), то
Заметим, кроме .того, что если бы мембрана колебалась в соответствии с законом (13п), то ни одна точка мембраны не находилась бы в покое (кроме точек, лежащих на границе); иными словами, мембрана не имела бы узлов (одно из положений
мембраны, колеблющейся по закону (13п), изображено на рис.
76 а).
Рассмотрим теперь два следующие члена ряда (13) (те члены, сумма индексов которых равна трем):
У. О = (Да cos a T12 /+B12 sin a ^12 /)sin ™ sin (1312)
“п (*. У• О = (Лі cos a K21Z-I- B21 sin a ^21 і) sin ~ sin . (IS21)
Оба эти колебания в сумме дают первый обертон колебания
270
Часть III.
мембраны. При этом функция W12 (x,y,t) задает колебательный процесс с частотой , а функция «2і(*. У, t) — колебательный процесс с частотой —если I ф ш, то эти частоты, вообще говоря, не равны друг другу; если же / = т, то Iu = Im — = 5* и частота обоих колебательных процессов (а следова-
тельно, и частота первого обертона) равна ~ Xg- •
Заметим далее, что если бы закон колебания мембраны задавался формулой (1312), то в процессе колебания мембраны точки, лежащие на прямой у — , оставались бы все время в по-
кое (см. рис. 76 б); эта прямая называется линией узлов. Для колебания, задаваемого формулой (1321), линией узлов является
прямая у f= Для суммарного же колебания U12 + и21 узлов
Ж 3 и к л
Рис. 77
Линии узлов для различных обертонов сравнительно легко построить, если мембрана является квадратной (/ = т). Так, например, для первого обертона (т. е. для обертона W12 -f «аі с
частотой -j- —-j линия узлов имеет форму, изображенную на
рис. 77а, если начальные условия симметричны (т. е. <р(аг, у)=*
— ф(У>х)> $(Х*У) —${У*Х)У' эта линия имеет форму, изображенную на рис. 77 б, если начальные условия антисимметричны (т. е. <р(х, у) = — ф (у, х), ф (х, у) = — ф (у, х)); при других начальных условиях линии узлов первого обертона могут иметь и другую форму (см. рис. 77 в, г, д).
'MaliMauSiWl
знанивбезграниц
Глава 2, § 10 271
Более сложными являются линии узлов для более высоких обертонов. При этом в один обертон мы будем объединять все те члены ряда (13), которые имеют одинаковую частоту; например, обертоном с частотой /— -у- является член ряда с индексом (2;2); обертоном с частотой / = — сумма членов
ряда с индексами (1; 3) и (3; 1) и т. д. Линии узлов для различных обертонов также зависят от задания начальных условий.
Некоторые линии узлов для обертонов с частотой j- приведены на рис. 77 ж-м, а для обертона с частотой j — на рис. 77 е.
Заметим, что, вообще говоря, с увеличением частоты обертона его амплитуда (а следовательно, и сила звука, обусловленная этим обертоном) убывает; поэтому основной тон и несколько первых обертонов обычно достаточно точно задают закон колебания мембраны.
§ 10. Решение уравнения колебания круглой мембраны
Пусть мембрана имеет форму круга радиуса /. Будем считать, что она расположена на плоскости Oxy и имеет центр в начале координат.
Для того, чтобы найти закон колебания этой мембраны, перейдем к полярным координатам. Из общей теории мы знаем, что отклонение и точки M от положения равновесия в момент времени t есть функция от точки M и от момента /, удовлетворяющая дифференциальному уравнению:
Pu
dt*
или
-а*(— 4- —'l ~и ^ ду2)'
д%и о /V * /»\
TTa - о /л\ц- (1)
/
Здесь учтено, что и не зависит от г, а только от х и у, и
поэтому + Равен лапласиану функции и. Напомним теперь,
как выражается лапласиан в цилиндрических координатах:
/п\ 1 Г д / „ ди\ , 1 а»ы ; д*иЛ
<——>и - г [ дг ( r dr ) + г д<ра + Г дг*у
272
Часть III
