Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 85

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 110 >> Следующая


Подставив решение, записанное в виде (5), в уравнение (1), получим следующее тождество:

-J- Я'Ф + Я"Ф + -ргНФ" S °.

Разделим переменные и приравняем каждую часть полученного равенства константе (обозначим ее — X):

Tф»

откуда

Я» + -і-Я'-і!-R = O-, (6)

ф" + КФ = 0. (7)

Однородные условия (3) и (4) на функцию и (г, 9) равносильны следующим условиям на функции R (г) и Ф(9):

R (г) ограничена на 0 < г < 1;

Ф(9) ограничена и периодична с периодом 2it:

Ф (9 -f- 2п) = Ф (9).

Последнее условие позволит определить коэффициент X: уравнение (7) допускает периодические решения только при Х>0; б этом случае решение будет периодической функцией с перио-



дом —. Если мы хотим, чтобы период укладывался целое чис*

ух

ло раз в 2я, надо, чтобы X равнялась квадрату целого числа (Х = ?а, k =1,2...). Кроме этих чисел, задача имеет еще одно собственное значение: Xe = 0.
DlalaUausMi

з,чаниебезе/яшч *

Глава 2. § 12 291

Итак, допустимыми значениями X будут числа:

X0 = О, X1 =1*, X2 = 2\ ..., ХЛ == Aef ...

Числу X0 = 0 отвечает, с точностью до постоянного множителя, только одно решение уравнения (7), удовлетворяющее условию Ф (<р -f 2гс) == Ф (9); это—константа. Возьмем, например, Ф0 (9) =г? 1.

Остальным собственным значениям нашей задачи отвечают по два линейно независимых частных решения: числу X*(fc> 1) соответствуют решения:

Ф* (?) “ cos Щ и Ф* (9) — s,n kf.

Подставим теперь Xfc = k*(k > 0) в уравнение (6):

+ = (8)

Это — уравнение Эйлера. Заменой независимой переменной г = оно сводится к уравнению с постоянными коэффициентами:

я; = я; = ( так как E = In г, 5;= J-);

к=(ъ-Pjr - те; 4-+«; (- ^

__ Г>* с' I D1 J___Dm I D’ ^

— К ?, г K5 г% —К r, Hi-г.

Подставляя /?' и Rpn в уравнение (8), лолучим, после упрощений:

R'-PR = O.

Каждому значению k соответствует только одно (с точностью до постоянного множителя) ограниченное решение этого уравнения. Действительно, при k > 1 решениями этого уравнения

являются функции R = е** и R= е~*\ или (если учесть, что

е* = г):

R = г* и R= г~*.

Ho второе частное решение неограниченно при г 0 и поэтому оно не должно приниматься во внимание. Итак, остается только решение R — г*. Обозначим его Rk (г):

10*
292

Часть III

Аналогично проверяется, что значению k — О отвечает только одно ограниченное решение

Я0(г)=1.

Подставляя найденные функции Ф (9) и R (г) в формулу (5), получим следующие решения уравнения (1), удовлетворяющие однородным условиям (3) и (4) и представимые в виде произведения функций одного переменного:

U0 9) = Rq " Фо = 1 * uk (г, 9) = Rk (г) • Ф* (9) = г*. cos k%

Ч (г, 9) = Rk (г) • Ф* (9) = г* • sin ktp.

Решением уравнения (1), удовлетворяющим тем же условиям (3)

и (4), будет также сумма функций u0(r, 9), Uk(г, 9), Uk (г, 9) с произвольными коэффициентами:

CO

U (г, 9) a= A0 • I + r* cos &Р + Ba rk sin &р). (9)

Л=1

Подберем коэффициенты A0, Ak, Bk так, чтобы удовлетворить неоднородному граничному условию (2). Для этого в ряде (9J положим г = 1:

CO

f (9) = A0 + J] (Akl* cos k? + Bklk sin ^9). k~\

Нами получено разложение функции /(9) в ряд Фурье по общей тригонометрической системе на участке [—п, тс]. Коэффициенты этого ряда легко находятся по известным формулам:

P(V)dV

—я

п

Ak-Ik = Ofi=- J/(9)COS^р^9;

Tl

Bk Ik = = -i- J / (<р) sin kfdf.
іїаШШатШ

Глава 2, § 12

293

Перепишем эти формулы, обозначив (для удобства дальнейших выкладок) переменную интегрирования 9 какой-либо другой буквой (например, т); как известно, величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Можно доказать, что ряд (9) с этими коэффициентами сходится в любой точке 0 < 9 < 2тс, О < г < /; его сумма и равна искомой функции.

Итак, нами получен закон распределения температуры внутри цилиндра; этот закон записан в форме сходящегося ряда (9). Преобразовав этот ряд, можно найти тот же закон распределения, записанный в иной форме.

Подставим в ряд (9) коэффициенты A0, Ak и Bk:

Будем считать числа г и 9 фиксированными (мы вычисляем значение функции и (г, 9) в произвольной, но фиксированной точке

IC

Tt

TC

(10)

TC

u(r, 9) = ^ j f(*)dr +

по тогда постоянная величина-----------------Jlr-*может Сыть

Itlff
294

Часть НІ

г* sin kf

л Sill

подведена под нак интеграла \ f (т) cos kx dx, а величина—^

—It

— под знак второго интеграла:

к

“(г> 9) = j /CcMt +

— К

S J "Tr cos^cos s‘n ^ s'n j ^т;

после преобразований получаем:

it во те

«(г, <Р) = 2Г J/(T)dx+ У~~- jJk coskix— tp)dx. (U)

Здесь можно поменять местами знаки суммы и интеграла; это следует из того, что ряд

?^(т)*со!і*(т_?> (1?

ft=»!

равномерно сходится на участке — к < % < тс при фиксированных г и 9: действительно, члены этого ряда по модулю меньше чле*

SM/ г \k*

—I -j- I

А=.]

А равномерно сходящийся ряд функций от х можно почленнр интегрировать на участке равномерной сходимости.
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed