Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Подставив решение, записанное в виде (5), в уравнение (1), получим следующее тождество:
-J- Я'Ф + Я"Ф + -ргНФ" S °.
Разделим переменные и приравняем каждую часть полученного равенства константе (обозначим ее — X):
Tф»
откуда
Я» + -і-Я'-і!-R = O-, (6)
ф" + КФ = 0. (7)
Однородные условия (3) и (4) на функцию и (г, 9) равносильны следующим условиям на функции R (г) и Ф(9):
R (г) ограничена на 0 < г < 1;
Ф(9) ограничена и периодична с периодом 2it:
Ф (9 -f- 2п) = Ф (9).
Последнее условие позволит определить коэффициент X: уравнение (7) допускает периодические решения только при Х>0; б этом случае решение будет периодической функцией с перио-
2л
дом —. Если мы хотим, чтобы период укладывался целое чис*
ух
ло раз в 2я, надо, чтобы X равнялась квадрату целого числа (Х = ?а, k =1,2...). Кроме этих чисел, задача имеет еще одно собственное значение: Xe = 0.
DlalaUausMi
з,чаниебезе/яшч *
Глава 2. § 12 291
Итак, допустимыми значениями X будут числа:
X0 = О, X1 =1*, X2 = 2\ ..., ХЛ == Aef ...
Числу X0 = 0 отвечает, с точностью до постоянного множителя, только одно решение уравнения (7), удовлетворяющее условию Ф (<р -f 2гс) == Ф (9); это—константа. Возьмем, например, Ф0 (9) =г? 1.
Остальным собственным значениям нашей задачи отвечают по два линейно независимых частных решения: числу X*(fc> 1) соответствуют решения:
Ф* (?) “ cos Щ и Ф* (9) — s,n kf.
Подставим теперь Xfc = k*(k > 0) в уравнение (6):
+ = (8)
Это — уравнение Эйлера. Заменой независимой переменной г = оно сводится к уравнению с постоянными коэффициентами:
я; = я; = ( так как E = In г, 5;= J-);
к=(ъ-Pjr - те; 4-+«; (- ^
__ Г>* с' I D1 J___Dm I D’ ^
— К ?, г K5 г% —К r, Hi-г.
Подставляя /?' и Rpn в уравнение (8), лолучим, после упрощений:
R'-PR = O.
Каждому значению k соответствует только одно (с точностью до постоянного множителя) ограниченное решение этого уравнения. Действительно, при k > 1 решениями этого уравнения
являются функции R = е** и R= е~*\ или (если учесть, что
е* = г):
R = г* и R= г~*.
Ho второе частное решение неограниченно при г 0 и поэтому оно не должно приниматься во внимание. Итак, остается только решение R — г*. Обозначим его Rk (г):
10*
292
Часть III
Аналогично проверяется, что значению k — О отвечает только одно ограниченное решение
Я0(г)=1.
Подставляя найденные функции Ф (9) и R (г) в формулу (5), получим следующие решения уравнения (1), удовлетворяющие однородным условиям (3) и (4) и представимые в виде произведения функций одного переменного:
U0 9) = Rq " Фо = 1 * uk (г, 9) = Rk (г) • Ф* (9) = г*. cos k%
Ч (г, 9) = Rk (г) • Ф* (9) = г* • sin ktp.
Решением уравнения (1), удовлетворяющим тем же условиям (3)
и (4), будет также сумма функций u0(r, 9), Uk(г, 9), Uk (г, 9) с произвольными коэффициентами:
CO
U (г, 9) a= A0 • I + r* cos &Р + Ba rk sin &р). (9)
Л=1
Подберем коэффициенты A0, Ak, Bk так, чтобы удовлетворить неоднородному граничному условию (2). Для этого в ряде (9J положим г = 1:
CO
f (9) = A0 + J] (Akl* cos k? + Bklk sin ^9). k~\
Нами получено разложение функции /(9) в ряд Фурье по общей тригонометрической системе на участке [—п, тс]. Коэффициенты этого ряда легко находятся по известным формулам:
P(V)dV
—я
п
Ak-Ik = Ofi=- J/(9)COS^р^9;
Tl
Bk Ik = = -i- J / (<р) sin kfdf.
іїаШШатШ
Глава 2, § 12
293
Перепишем эти формулы, обозначив (для удобства дальнейших выкладок) переменную интегрирования 9 какой-либо другой буквой (например, т); как известно, величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
Можно доказать, что ряд (9) с этими коэффициентами сходится в любой точке 0 < 9 < 2тс, О < г < /; его сумма и равна искомой функции.
Итак, нами получен закон распределения температуры внутри цилиндра; этот закон записан в форме сходящегося ряда (9). Преобразовав этот ряд, можно найти тот же закон распределения, записанный в иной форме.
Подставим в ряд (9) коэффициенты A0, Ak и Bk:
Будем считать числа г и 9 фиксированными (мы вычисляем значение функции и (г, 9) в произвольной, но фиксированной точке
IC
Tt
TC
(10)
TC
u(r, 9) = ^ j f(*)dr +
по тогда постоянная величина-----------------Jlr-*может Сыть
Itlff
294
Часть НІ
г* sin kf
л Sill
подведена под нак интеграла \ f (т) cos kx dx, а величина—^
—It
— под знак второго интеграла:
к
“(г> 9) = j /CcMt +
— К
S J "Tr cos^cos s‘n ^ s'n j ^т;
после преобразований получаем:
it во те
«(г, <Р) = 2Г J/(T)dx+ У~~- jJk coskix— tp)dx. (U)
Здесь можно поменять местами знаки суммы и интеграла; это следует из того, что ряд
?^(т)*со!і*(т_?> (1?
ft=»!
равномерно сходится на участке — к < % < тс при фиксированных г и 9: действительно, члены этого ряда по модулю меньше чле*
SM/ г \k*
—I -j- I
А=.]
А равномерно сходящийся ряд функций от х можно почленнр интегрировать на участке равномерной сходимости.