Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
V {х, t) = u (х, І) — U (х, t),
где U(x,t)—какая угодно, но по возможности более простая Функция, удовлетворяющая граничным условиям (3). Примем в качестве U (х, t) функцию, линейную относительно х:
U (AT, I) = a (I) -I- JWjpW. * .
(5)
* Подобная замена переменных применялась в предыдущем параграфе, когда мы решали уравнение колебания струны с неоднородными граничными Условиями.
9 ю. с. Очан
258
Часть III
Тогда функция v(x, t) удовлетворяет однородным граничным условиям:
v(0,t) = О, г(/,/) = 0, (За)
начальному условию
v(x, 0) = и (х. 0) -1/ (ЛГ, 0) = ? (X) - а (0) - W д. (4а)
и дифференциальному уравнению
-jp ~аг= -U1(XJ), (Ia)
(или уравнению
НГ~агШ ^ А (х> 0 — Vt (*’ 0 . (4а)
если исходным уравнением было уравнение (4)).
Для того чтобы решить уравнение (Ia) или (4а) при однородных граничных условиях, поступают так же, как и при решении уравнения колебания струны: если правая часть уравнения равна нулю, то его решают методом разделения переменных, как в § 1; если же правая часть отлична от нуля, то применяют метод, рассмотренный в § 5.
Приведем пример на решение уравнения теплопроводности. Пусть однородный стержень расположен на отрезке 10; /], причем на концах стержня поддерживается постоянная температура: в точке Jt = O — температура А, в точке х — 1— температура В. Начальное распределение температуры в стержне задается функцией <?(х). Найти закон распределения температуры u(x,t) в любой момент времени, предполагая, что внутри стержня происходит свободный теплообмен (т. е. отсутствуют источники и поглотители тепла).
Уравнение, которому удовлетворяет искомая функция, таково:
ди « дяи л
' аГ ~ ° AtT = :
начальное условие
и (х, 0) = ? (х)
и граничные условия:
и (0,/)=/1; U(U) = B
Глава 2. § 7
259
Сделаем замену переменных:
v(x, t) = и(х, t) — [A -Ь х j
Функция v(x,t) удовлетворяет уравнению
-зг-о,0 = °- <1б>
начальному условию v(x,0)~u(x,0) — ^A+] = ?(*)-[ АЛ-S=^-X J (26)
и однородным граничным условиям:
0(0,0=0, v(l,t) = 0. (36)
Однородное уравнение (16) при однородных граничных условиях (36) и неоднородных начальных (26) мы можем решить дословно так же, как решали в свое время уравнение свободных колебаний струны (см. § 1). Проделав все действия, предписываемые методом Фурье, найдем функцию v(x,t) в виде суммы следующего ряда:
се А*к*а* Л
V(Xj)= Ect е '¦ sin-^1
где коэффициенты Ck вычисляются по формулам:
С* = -у- Jj <р(*)— ? A + X JJ sin-^p- d х ,
о
откуда
/
с* =-J f 9 (X) sin dx - - Jr |Л + (-1)‘+» В]. (6)
Учитывая теперь замену переменной (5), получим искомое распределение температуры внутри стержня:
и (х, t) — V (х, і) -{- ^A H------- хJ =
л . В—А . V п » і* • knx
=, а H------ х+ 2jCke sin-p
* *-1
где коэффициенты Ck определяются по формулам (6). и*
260
Часть 111
Исследуя полученное решение, заметим, ЧТО при <->-{- OO распределение температуры внутри стержня стремится к линейному распределению
л . B-A U = A -|---j—х.
Это — предельное распределение температуры (при t -> + оо). Для больших значений t температура внутри стержня в каждой точ-
п_
ке X будет близка к числу А 1------— х .
§ 8. Двойные ряды Фурье
Решая уравнение колебания струны, нам удалось представить искомую функцию двух переменных u(x,i) в виде суммы некоторого ряда. Однако в более сложных задачах, когда искомая функция зависит не от двух, а от большего числа переменных, не всегда удается представить эту функцию в виде суммы обычного ряда; для ее аналитической записи часто приходится прибегать к двойным и даже к тройным рядам.
Пусть дана таблица чисел, занумерованных двумя натуральными индексами:
Оц (lit а о . . . Ciitt • • • йаі flaa Cl2з • • • a2k • • •
аП аП °/3 • • • aIk • • •
Возьмем члены, стоящие в какой-либо (і-той) строке этой таблицы, и сложим их: . .-f а1к-\-. . .; если этот
ряд сходится, то мы обозначим его сумму через I1:
b, = Zatt. (1)
Пусть ряд E aik сходится для любой строки (т. е. для любого но-к
мера I) и ряд из bt тоже сходится; тогда сумму этого последнего
ряда (2 Ь{) называют суммой двойного ряда:
і
(2)
/ *
а сам этот двойной ряд называют сходящимся.
Глава 2, § 8
261
Двойной ряд принято обозначать символом E aifk, если этот
i.k
ряд сходится, то символу S Q1,к приписывают определенное число-
вое значение — сумму двойного ряда.
Для того чтобы все ряды (1) абсолютно сходились и чтобы ряд ^bl также абсолютно сходился, достаточно, чтобы абсолютно сходился обычный ряд, который получится из данного двойного, если все его члены выписать в виде простой последовательности*. Превратить двойной ряд в обычный можно многими различными способами; чаще всего поступают следующим образом: на первом месте в последовательности выписывают член а„; затем два члена, у которых сумма индексов равна 3; потом три члена, у которых сумма индексов равна 4, и т. д.:
~ aIX ~Ь a12 H °21 I' 0IS t" а22 I' W3I I aM Ь fl2S ^32 Ь
