Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
На первом этапе ищем такие решения уравнения (1), которые представимы в виде произведения нескольких функций одного переменного и удовлетворяют заданным однородным условиям:
и (х, у) = X (x)Y(у). (2)
Подставляя произведение (2) в уравнение (1), получим
aX"Y + cXY" + dX'Y + eXY' + fXY = О
(где X', Xn означают производные по х, a Y', Y" — производные по у). Разделяя переменные, перепишем это равенство следующим образом:
аХп + dX' + fX — с Ytt — eY'
X Y
Приравнивая оба эти отношения постоянной — X, получаем уравнения для определения X и Y:
аХ" + dX' + fX + XX = 0; (la)
_ cY" — еК' + ХК = 0. (16)
Для того чтобы определить X, используем заданные однородные условия; из однородных условий, наложенных на и (х, у), вытекают некоторые однородные (как правило, граничные) условия на одну из новых искомых функций, например на Х(х). Таким образом, для определения функции Х(х) мы приходим к краевой задаче, аналогичной тем, которые рассматривались во второй части книги; чаще всего (хотя и не всегда) это приводит к краевой задаче Штурма-Лиувилля. Задаче Штурма-Лиувил-
ля отвечает счетное множество собственных чисел X1, X2......Хл,...
и счетное множество функций X1 (лг), X2 (х).....Xk (*),...; кроме
того, для каждого Хл найдется два линейно независимых решения уравнения (16) или одно (если с~0). Для определенности будем считать, что каждому Xk соответствует только одно Yk(y). Тогда решениями исходного уравнения (1), представимыми в виде
Г лава 2, § 4
243
произведения двух функций одного переменного, будут всевозможные функции вида:
uk(xty) = Xk(x) Yk(у). (3)
Все эти функции удовлетворяют заданному однородному уравнению (1) и заданным однородным дополнительным условиям.
Перейдем теперь ко второму этапу решения задачи методом Фурье: взяв линейную комбинацию* функций (3) с произвольными коэффициентами ск:
и (х, у) = Hck Xk (х) Yk (у), (4)
к
подберем эти коэффициенты так, чтобы функция и (х, у) удовлетворяла бы не только данному уравнению (1) и заданным однородным условиям (это будет выполнено при любых коэффициен-
тах ck), но и заданным неоднородным условиям. Делается это следующим образом: если, например, неоднородное условие сводится к тому, что
и(х,у)\у=о = 9(х) (5)
(где <р(х) — известная функция), то, подставляя в равенство (4) ;/ — 0, получим
9 (*) = S Ck • Yk (0) • Xk (х). (6)
к
Равенство (6) можно рассматривать как разложение функции <р(х) в ряд Фурье по ортогональной системе Xk(x). Следовательно, коэффициенты ряда (6):
Ск ' Р)»
можно вычислить по формулам для коэффициентов Фурье, откуда найдутся все числа Ck.
Подставив найденные Ck в ряд (4), мы найдем искомое решение нашей задачи: функция, представленная в виде ряда (4) с найденными коэффициентами, удовлетворяет как данному уравнению
(1), так и заданным дополнительным (однородным и неоднородным) условиям.
Рассмотренная нами схема решения однородного уравнения методом Фурье может несколько усложниться в различных случаях. Например, если искомая функция зависит не от двух, а от трех или большего числа переменных, то эту функцию надо
* Под «линейной комбинацией» подразумевается не только линейная комбинация конечного числа членов, но и бесконечный сходящийся ряд из Функций вида (3) с произвольными постоянными коэффициентами.
244
Часть IN
искать в форме произведения не двух, а большего числа функций одного переменного. Далее, коэффициенты уравнения (1) не обязаны быть постоянными: они могут быть заданными непрерывными функциями от х и у. Наконец, неоднородные условия могут оказаться более сложными, чем рассмотренные выше. Однако все это лишь несколько усложнит выкладки, не изменив сущности метода.
Впрочем, следует иметь в виду, что далеко не для всякого линейного однородного уравнения может быть осуществлено разделение переменных. He приводя здесь условий применимости метода Фурье, укажем только, что для весьма многих, практически важных случаев этот метод приводит к цели.
Метод Фурье для неоднородного уравнения. Пусть перед нами стоит задача решения неоднородного линейного уравнения
auXX + Шуу + duX +cu'v+fu=g (*> */)’ (7)
где g (аг, у) — заданная функция, отличная от тождественного нуля; как и в случае однородного уравнения, будем считать, что член, содержащий смешанную производную, отсутствует и все коэффициенты а, с, d, е, / постоянны.
Пусть на искомую функцию наложены некоторые дополнительные (однородные и неоднородные) условия.
Для того чтобы найти искомую функцию, поступаем следующим образом: на первом этапе рассматриваем соответствующее однородное уравнение.
аи'хх + си'уу + dux + еи'у -f fu = О
и заданные однородные условия; действуя так же, как и ранее, находим семейство собственных функций Xft(Jt)f отвечающих, соответствующей краевой задаче Штурма-Лиувилля. После этого возвращаемся к нашему неоднородному уравнению (7); будем искать его решение в форме ряда, разложенного по собственным функциям:
и (х, у) = 2 Pft (у) Xk {х), (8)
