Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
к
гДе Pa (у) — пока не известные функции от у\ их надо подобрать с таким расчетом, чтобы функция, определяемая рядом (8), удовлетворяла заданному неоднородному уравнению и заданным неоднородным условиям (однородным же условиям ряд (8) удовлетворяет при любых Pft (у)— это объясняется выбором функций Xk (х)).
Для того чтобы найти все PftQ/), подставим ряд (8) в урав-
Глава 2, § 4
245
нение (7), предварительно разложив функцию g(лг, у) в ряд Фурье по ортогональной системе собственных функций {ХЛ(лг)}:
g(xty) = H CLk Xk(X). h
Коэффициенты aft, вообще говоря, зависят от у\ поэтому МЫ обозначим их ?k(y). После подстановки ряда (8) в уравнение получим следующее равенство;*
? [ с pi (у) + е pi (у) — Xk Pft (у) ] Xk (х) = S аЛ (у) Xk (х), (10)
к к
где Xft — собственные числа, отвечающие функциям Xk(x). Для того чтобы равенство (10) было тождеством, достаточно, чтобы коэффициенты при Xk(x) в правой части равенства равнялись соответствующим коэффициентам в левой части:
с Pa (у) '+ е Pi (у) — Ik Pft(у) = ak(у). (11)
Из полученной системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений можно найти все Pk(y). Для того чтобы найти их однозначно, надо знать начальные условия для рk(y). Они могут быть определены из граничных или начальных условий для искомой функции и(х,у)\ например, если задано условие
и(х,у)\у=0 = ?(х),
то из (8) получаем:
9 (X) = Spft(O) Xft(x), к
* Действительно, подстановка ряда (8) в уравнение (7) приводит к равенству:
2 [а • Pft (У)^к (х) “Ь с * Pft (У) (х) + ^ * Pft (У) Xk (*) ~Ь в * Р* (У) Xk (х) -f-
+ / • Pft (У) *к (*)] = 2 Ik (У) Xk (*)• (9)
ft
Так как Xk (х) удовлетворяет уравнению (Ia) (см. стр. 242) при X = Xft, то a Xk (х) -f- d Xk (х) -f- / Xk (х) -f~ Xft Xk (х) = 0,
или
aXk (х) + d Xk (х) 4- / Xk (X) =-XkXk (х).
Учитывая это, перепишем равенство (9) следующим образом:
2 [Pft (У) ¦ (~ *ft Xk (х)) + с р” (у) Xk (X) + в Pi (у) Xk (X)] =
= Saft (у) Xk (х), ft
откуда и вытекает равенство (10).
246 Часть III
откуда следует, что Pft (0) равны коэффициентам ряда Фурье функции <р(х) по ортогональной системе [Xk(x)\. Аналогично — из других условий на функцию и (х, у) — могут быть найдены, например,
Р*(0). Зная рА(0) и pft(O), можно однозначно определить (из уравнений (11)) все функции рk(y).
Для того чтобы найти искомую функцию и(х,у), остается подставить все найденные рк(у) в равенство (8).
§ 5. Решение уравнения колебания струны при наличии внешних сил (вынужденные колебания)
• Задача о вынужденных колебаниях струны сводится к нахождению того решения u(x,t) уравнения
ии =a*u'x'x + f(x,t) (1)
(где f(x,t)^0), которое удовлетворяет заданным начальным условиям
и (xt 0) = ?(*), u 't (х, 0) = ф(*) (2)
и граничным условиям
ы (0,0 = 0, и (/,/) = 0. (3)
Здесь, в общем случае, неоднородными являются как уравнение (1). так и начальные условия (2) (если хотя бы одна из функций ф (х) или ф (х) отлична от тождественного нуля), и лишь граничные условия являются однородными.
Рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение
u'tt = а2ихх и заданные граничные условия (3). Эта задача при-
{k Tt х V sin —j— J (см. § I).
Вернемся теперь к нашему неоднородному уравнению. Поступая согласно общей теории (см. § 4), заменим функцию f (х, t) ее разложением в ряд Фурье по собственным функциям соответствующей однородной задачи, т. е. в ряд по функциям jsin^^- j:
«О
t * Q If * \ ^ t • k Vt X /• .
Utt = ° Uxx + 2j ЬЬ Sin -7—* (1 a)
ft=l
I
2 Г kn x
где bh = — I / (лг, 0 sin —-— dx. Очевидно, что bk являются функ-
Глава 2Л § 5
247
циями от /; поэтому, в дальнейшем, вместо bk будем писать bk(t).
Будем искать решение уравнения (Ia) в виде суммы тригонометрического ряда по синусам (по переменной х):
пс
M(*,Z) = ?cfc(Z)sin-^. (4)
A=I
Допуская возможность почленного дифференцирования ряда, получим:
OO
9 f / і» Ф Ф / IV » k Я JC
“и (х> О = 2j ck (*)s,n -j-;
A=I
OO
" і V4 іл\ IttKt knx
«„(*./) = —2j cA*) —71-sin—p-.
A=I
Подставляя это в уравнение (la), получим тождество:
S" /л\ ' knx „ /л\ k2n%- . kn X , V1 L іл\ • k п X
Ck (0Sin —j— = - a2 2j Cik(Z)-Ji-Sin —р- + 2jfrft(0sm —.
AAA
Это тождество будет наверняка выполнено, если для любо-
Jfe TZ X
го k коэффициенты при sin—j— в левой части равенства равны
соответствующим коэффициентам в правой части. Таким образом, для определения сЛ(/) мы получаем следующие уравнения:
c-(t)=----kI^L Ci(I) + b„(t), (5)
где k = 1, 2, 3 ...
Каждое из этих уравнений является обыкновенным линейным дифференциальным уравнением второго порядка; для того чтобы эти уравнения однозначно определили функции ck (Z), должны быть заданы, для любого номера k, числа Cfc(O) и Cfc(O) (т. е. должны быть заданы начальные условия для Cfc(Z)). Числа Ck(O) и ck (O) легко найти из условий (2). Действительно, так как
м(*.0 = ? °k W Sin-^-,
А
“t (х, O = Sc* Msin ^tl ¦ к
248
Часть III
то условия (2) равносильны следующим:
