Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
knx
? Cft(O)Sin-у- = ?(х), к
(6)
ScH0)sin ^tl = Ф ДО-
Равенства (6) можно рассматривать, как разложения функций <р(х) и ф(л:) в ряд Фурье по синусам; поэтому числа Ck(O) и с'Л(0) являются соответствующими коэффициентами Фурье:
і
си (°) = -у- j 9 (*) sin dx,
о
I
c'k (°) = -J-1Ф (х)sin ~^г~ dx-
(7)
Это и будут начальные условия для функций ck(t)\ если функции Ck (/) удовлетворяют условиям (7), то для функции двух переменных и (х, t) = ck (t) sin JLjlL выполняются заданные начальные k
условия (2).
Найдя все ck(t) из уравнений (5) и начальных условий (7) и затем подставив эти ck(t) в равенство (4), получим искомое решение уравнения колебания струны. Это решение удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) и начальным условиям (2);
кроме того, так как каждая функция вида Ck (1)sin обращается в
нуль в точках х = 0 их = /, то и их сумма (т. е. функция и (х, /)) также обращается в нуль в этих точках. Следовательно, найденное решение удовлетворяет и заданным граничным условиям. В силу теоремы о единственности решения (см. § 3), можно утверждать, что никаких других решений, кроме найденного, эта задача не имеет.
Пример. Найти закон колебания однородной струны длиной / = 1 м, закрепленной на концах, если известно, что ее натяжение T и линейная плотность Г таковы, что а = Л/ JL = 100—*
у г сек
В начальный момент струна оттянута в середине на Л = 0,01 м и затем отпущена без начальной скорости. На струну действует сила, которая, в расчете на единицу массы струны, задается
Глава 2, § 5
249
следующей формулой: / (лг, t) = P sin sin U) t (здесь P И U) —
заданные числа; для определенности примем р = 0,01 місек*). Задача сводится к решению неоднородного уравнения
rt • > > * •_ ЇС X• і
utt = a*Mjex + рsin —р sinш/
(8)
при неоднородных начальных условиях:
2 Л
w (лг, 0) =
(9)
Л і
J- при о < * < -у,
9А /
2 Л-------р при -g- < х < /,
(х, 0) = о,
и при граничных условиях:
и (0, t) = 0; и (ltt) = 0.
Согласно теории, ищем решение в виде суммы ряда по синусам
kit х
^ckW sm-
к
U (x,t) = Yick(Osin -~
(10)
Представим, кроме того, функцию / (х, t) = р sin sin ш/ в виде суммы ряда по синусам:
/(*• O = SMOsin-^-. к
В данном случае при k = I, 6, (/) = psinutf, а при k =? \ , bk (і) = 0. Подставим теперь выражение (10) для и(х,і) в уравнение (8),
предварительно заменив в этом уравнении функцию р sin sin Ы
соответствующим тригонометрическим рядом:
Sr,,.. . kit X 2V /и\ k2n* . kn X . V4 t • kit X
Ck (t) sin —J— = — Q2 2j Ck (t) -JT- sin —J— -f 2j bk (0 Sm —J-.
kit X
Приравняем коэффициенты при sin —j— в левой и правой частях равенства:
Ct (О + ^ Ck (0 = Ьк (I). (11)
250
Часть III
Для того чтобы найти начальные условия для функций сЛ(/),
разложим в ряд Фурье по синусам функции и (х, 0) и Ut (*, Oj
(эти функции заданы формулами (9)):
kn
л\ V1 s*n 2 knx
u(x-°) = L-^r-sm— = к
Bh . пх В h . 3 я де , 8 h . 5 я де
~ я» П I 3* я» Sln / + б* я* Sin I
и) (х, 0) = J] 0 • sin kjX~. к
^ s-n k я
Поэтому Cft (0) =-------* 2 (в частности, C1 (0) = -?-, C2 (0) = 0,
Л* я* к
C(O) = - -?-. C4(O) = о, с,(0) = , C(O) = о-----); с;(0) = 0.
Решим уравнения (И) при этих начальных условиях. При k = l уравнение (11) запишется так:
cI'(t) + Cl (/) = P Sin ш/,
Sh
а начальные условия: C1 (0) = , с' (0) = 0. Искомое решение
имеет вид:
/ .V Bh ant со I р .ant .
ft (0 = -зг- cos -j------------/ v sm — +
(—т*--------I
+ —- Sin м/, (при ш =Jt
или
8Л ant , It р ant Itp ant
CA) = — + W 8Ш-(----"20Я C —
/ ая \
f при ID = -7—)•
При k Ф I уравнение (И) приводится к виду:
* і / j\ і Я^ / ,\ л
с* WH---------j!—с* (0 = 0,
Глава 2, § 5
251
8h sin —
а начальные условия: ck (0) — —fea-» ; Cjt (0) = 0. Искомое решение таково:
Bh sin ~
2 k ant cM= - fe-г^г COS —р-
(в частности, при k четном (/) = 0).
Подставляя все найденные ck(t) (? = 1,2,3,...) в формулу
(10), найдем окончательное выражение для u(x,t) ^при :
и (х, t) =
8h ant со Ip .ant
cos —ї-----------r—?---r sin —J--Ь
„ / 0*7* Л
а п ---------^— — w I
V Iі I
, р Л • п „ 8Л Zant . Znx ,
H---?~Г~----SincoM Sin -7-Х----Г=—rCOS—;—sin ;--------\-
0 ш» I * 3 Я 1 1
. Bh ^ bint . 5 п х
-р “?•—г COS -;-Sin --:------. . .
1 5я я* / /
или, учитывая числовые значения: a = IO2 місек, I = I м, h = = 0,01 м, р = 0,01 м1секг,
U (x, t) = sin sin 1RX + ^ 0^8- COS 100 Tit —
- :,.*0 ,---o\~ sin 100ir/1 sinTzx------cos300nt sin3tx -f-
n (IO4 те* — o>2) I 3*те* 1
10«
+ ка°г cos 500 Tt sin 5 TZX — . . .
‘ 5я те*
Итак, колебание струны естественным образом разлагается на два составляющих колебания: первый из выписанных членов
ряда sinЫsinт:х дает колебание с периодом (и ча-
стотой а сумма всех остальных членов ряда — колебание с
21 I „ а -р. колеб г-, 21 1
периодом -- = -EX- И частотой -S7- = 50 ——. Период — = -&¦ и
