Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Л*
-I Ciil . . . (3)
Для удобства обычно объединяют вместе все те члены этого ряда, у которых сумма индексов равна данному числу; тогда, если обозначить
Я],л 4 «2,л-1 1 Яз.м~2 4 • • • ]- Clrt,\ = Cn ,
ТО
^ сіі,к С{ t ¦ I ¦ * *4 Cfi ”1 • • • (4)
Л*
Сумму C1 4- . . . H- сп называют п-ой частной суммой двойного ряда (и обозначают Sn). Если двойной ряд абсолютно сходится, то его сумма S равна Iim Sn.
П-» OO
Как сказано выше, абсолютная сходимость ряда (3) влечет
л а собой абсолютную сходимость рядов (1) и (2) (а значит, и
дп иного двойного ряда). Однако нередко может случиться так, что даже при условной сходимости рядов (1), (2) и (3) — сумма ряда (3) совпадает с суммой двойного ряда.
Введем теперь понятие двойного ряда Фурье. Пусть функция ї(х,У) определена и непрерывна в прямоугольнике о: О <*<!/; Q--'у будем считать, что на границах прямоугольника эта Функция равна нулю. Зафиксируем какое-либо значение у, за-
* В этом случае говорят, что двойной ряд абсолютно сходится.
262
Часть III
ключенное между 0 и т, и разложим функцию / (х, у) (как функцию от х) в ряд Фурье по синусам:
OO
/(*,</)= J-. (5)
Коэффициенты этого ряда мы обозначили через Ьк{у)> так как они зависят от того, чему равно зафиксированное вначале значение у:
і
Ь„(у) “-у (7 (*.ЮSin-^pdx. (6)
Функция Ьк(у) обладает следующими свойствами:
1) 6* (0)=0; bk{m) = 0; это следует из того, что f(x,y)—Q на границах прямоугольника и, в частности, при у = 0 и при у = m (каково бы ни было х,
2) Ьк(у) — непрерывная функция от у\ это следует из общей теоремы (которую мы не доказываем), утверждающей, что если подинтегральная функция есть непрерывная функция двух переменных в замкнутом прямоугольнике о, то определенный интеграл по одному из этих переменных есть непрерывная функция от другого переменного.
Разложим функцию Ьк(у) в ряд по синусам:
ь, (У) = S Cw Sin 42-. (7)
ш
I
где
m
С»,,= — f My)sin ^dy.
J m
0
или, учитывая значение Ьк(у) (см. (6)),
Это можно записать с помощью двойного интеграла
Cm = ~JJ/ (*• У)sin jJl sinj^da;
в знаменателе перед интегралом стоит площадь области интегрирования (a = m /).
5ValаШашШ
знанивбеїгрениц
Глава 2, § 8 263
Если теперь подставить в ряд (5) выражение для Ьк(у) (см. формулу (7)), то мы получим разложение функции f(x, у) в двойной ряд Фурье:
/(•*.у) = SfS Ск-'sin i^jsin"Tl • k і
мли
fix, у) = Vi Ckil sin Ssin . (9)
/n I
hk
Коэффициенты этого двойного ряда Фурье вычисляются по формулам (8).
Можно доказать, что для любой функции f(x,y), непрерывной в замкнутом прямоугольнике о: 0<*</; 0ряд (9) сходится в среднем квадратичном к функции f(x,y)\ это значит, что среднее квадратичное расстояние между функцией f{x,y) н л-ой частной суммой* двойного ряда Фурье
}/ И (/ (х. У) — Sn (х, у)]2 (I х
стремится K нулю при п -> OO.
Более того, двойной ряд Фурье сходится в среднем квадратичном к функции f(x,y) даже в том случае, когда эта функция кусочно-непрерывна** и ограничена в области о. Доказательство /гой теоремы значительно сложнее, чем доказательство аналогичной теоремы для функций одного переменного (см. часть II, Ss 13).
Имеет ли место равенство (9) в каждой точке области о?
І !паче говоря, будет ли двойной ряд Фурье сходиться к функции / (л\ у) не в среднем, а в смысле обычной сходимости? Отеет на этот вопрос более труден, чем для функций одного переменного. Однако практически можно считать, что для всех тех кусочно-т'прерывных, ограниченных в области о, функций, с которыми нам придется встречаться, это имеет место (всюду, кроме точек, лежащих на линиях разрыва функции / (х, у), и точек, лежащих на границе области о).
* Здесь, как и раньше (см. стр. 261), под л-ofl частной суммой двойного Рида подразумевается сумма всех таких членов ряда, у которых сумма индек-к>и /-)-Л не превосходит числа л-f-l.
** Функция f(x,y) называется кусочно-непрерывной в области о, если "У область можио разбить простыми дугами на конечное число областей, "путри каждой из которых функция f(x,y) непрерывна.
264
Часть III
Нами был рассмотрен вопрос о разложении функции двух переменных в двойной ряд Фурье по синусам. Совершенно аналогично можно было (ы говорить о двойных рядах Фурье по другим ортогональным системам функций (например, по функциям Бесселя или по полиномам Лежандра). С такими двойными рядами Фурье нам придется встречаться впоследствии.
§ 9. Решение уравнения колебания прямоугольной мембраны
Пусть мембрана имеет прямоугольную форму. Будем считать, что она расположена на плоскости Оху, занимает область о:
О <*<!/, 0 < т, и закреплена на границе этой области. Допустим, что на нее не действуют никакие внешние силы и что
в начальный момент ей приданы начальное отклонение
и (х, у, /)//=0 = 9 (*» У) (1а)
начальная скорость
ut(x,y,t)ftn0 = ^(x,y). (16)
Тогда отклонение мембраны и (х, у, t) в любой точке (х, у) в любой момент времени t удовлетворяет уравнению
начальным условиям (Ia) и (16) и граничным условиям:
