Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
но в данном случае и не зависит от г; поэтому
Подставляя это выражение для лапласиана в уравнение (1), получим после преобразований:
сPu _ а2 (ди дги , 1 д*и\
дР ~ г (dr dr8 + г ду*)' W
Решая это уравнение, мы найдем и, как функцию от t, а
также от г и 9, т. е. от полярных координат точки М, лежащей
в плоскости мембраны. Это уравнение и является уравнением свободных колебаний мембраны в полярных координатах.
Обозначим искомую функцию через и (г, 9, t) и зададим граничные и начальные условия:
1) граничное условие
u{l,<p,t) = 0 (3)
означает, что все точки, где г = I (т. е. все точки, лежащие на границе мембраны), находятся в покое: мембрана закреплена на границе;
2) начальные условия:
ы (''.9,0) =/(г, 9), (4)
u'tir> ?,0) = ф(г, 9)
означают, что отклонение точки мембраны с координатами (г, 9) в начальный момент равно f(r,<p), а начальная скорость этой точки равна (г, 9).
Приступим к решению уравнения методом Фурье. Будем искать те решения уравнения (2), которые удовлетворяют граничному условию (3) и представимы в виде произведения трех функций одного переменного
= (5)
Функция R (г) должна быть определена на участке 0 < г< /. Граничные условия на R (г) вытекают из условия (3) и из естественного требования ограниченности функции и (г, 9, /):
R(I)-O; /?(г) ограничена при r-^-f-0. (6)
Функция Ф (9) не связана никакими условиями, кроме одного: она должна быть периодической с периодом 2тс; действительно, с изменением угла 9 на вэличину 2к точка мэмэраны не
Глава 2, § 10
273
изменит своего положения, а следовательно, и отклонение мембраны и (г, 9, t) не изменится при замене <р на 9 + 2«. Итак,
Это условие играет роль граничного условия, наложенного на
Здесь, как и в предыдущем параграфе, опускаются (для краткости записи) обозначения независимого переменного; штрихи около функции обозначают дифференцирование по тому переменному, от которого эта функция зависит.
Разделяя в полученном равенстве переменные, перенесем в одну часть члены, зависящие только от 9, а в другую — от / иг:
Проводя обычные рассуждения, убеждаемся в том, что обе части этого тождества не зависят ни от 9, ни от t, ни от г и, следовательно, являются постоянными. Обозначая их общее значение буквой — V (где V — константа, знак и числовое значение которой пока нам не известны), получим:
Используя граничное условие (7), заключаем, что v не может быть отрицательным (в противном случае решение уравнения (8) выражалось бы через показательные функции и не было бы периодическим). Поэтому у > 0.
Ф (9) = Ф (9 -f 2я) для любых 9.
(7)
Ф (9).
Подставляя (5) в уравнение (2), получим
Г'ФЯ = -~Т Ф R' + а2ГФЯ" + -^-TVrR.
Т" R — — TR'—a2TR"
Ф"
Ф •
г
Ф"
~ Ф = v»
откуда
Ф" -f у Ф = 0,
T"R — ^rTRr-a* TR" -f v -TR = 0.
(8)
(9)
274
Часть III
Если v = 0, то уравнение (8) приводится к виду: Ф" = 0, и его решение Ф = C19 + C2 будет удовлетворять условию (7) только при C1 = 0.
Итак, при v = 0 наша граничная задача имеет нетривиальное решение Ф == C2 (в частности, Ф==1). Значит, V0 = O является собственным значением, а функция Ф0 = 1 — соответствующей собственной функцией.
Если V > 0, то линейно независимые частные решения уравнения (8) имеют вид:
Ф (9) = cos 9 Y V; Ф (?) = sin 9 У у.
- . - 2я
Функции Ф (9) и Ф (9) имеют период -7=; этот период будет
У V
равен 2тс или он будет целое число раз содержаться в 2тс тогда и только тогда, когда j/v — целое число; итак, v = р2 (где р = = 1,2,3,...). Обозначая то значение v, которое соответствует целому числу р, через vp, а соответствующие собственные функции через Фр(9) и Фр (9), получим:
Vp = P2; Фр(?) = cosр9; Ф„(9) = sinр9.
Здесь каждому собственному числу vp отвечают, два линейно независимых частных решения; это кажущееся противоречие с общей теорией объясняется тем, что в данном случае наша краевая задача не является задачей Штурма-Лиувилля: заданные граничные условия (7) отличны от тех, при которых доказывалась основная теорема о собственных функциях.
Подставляя теперь v = р2 (р = 0,1, 2...) в равенство (9), получим:
Т" R--j- TR' — a2 TR" + TR = 0; (10J
разделим переменные:
г. _ ~г «'+*•-O5T — '
проведя обычные рассуждения, убедимся, что каждый член равенства здесь постоянен. Приравнивая его константе — X, полу« чим:
Г _ -T -jWr
OsT = R =—К
Глава 2, § 10
275
откуда
Т" + Xa2T = 0, (11)
г2 Rff + г Rf + (X г2 — р*) R = 0. (12)
Уравнение (12) вместе с граничными условиями на искомую
функцию: R (I) = 0, R (г) ограничена при г -* + 0, было нами
изучено в § 5 второй части*. Там было установлено, что собственными числами этой краевой задачи являются числа
[ <4Т • [kJT. • Rf-
¦ ¦ ' .,—і. и— * ¦— ^ * • • • * і . і * • • •
/а P 12
(где 0 < < .. • —положительные корни бесселевой функ-
ции Jp), а собственными решениями этой задачи являются функции:
Rf.* (Г) = Jp ( ; Rp., (Г) = J
(13)
Здесь каждая собственная функция нумеруется двумя индексами (р и k); индекс р пробегает всевозможные целые неотрицательные значения 0 < р < + оо, индекс k — всевозможные натуральные числа, I < k < + оо.
