Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Jpk = 'KO1IW ii f(r) 1V cos^dtl =
О
І іс
= 5К( I1IW j j f{r)Jp (j^) cosW-*- dfdr.
Вынося за знак внутреннего интеграла (по 9) сомножители, не
П
зависящие от 9, мы приводим его к интегралу J cos p<pd<p, ко-
—П
горый равен нулю при любом целом р, отличном от нуля. Ho тогда и весь двойной интеграл равен нулю, т. е. Apk = 0. Аналогично проверяется, что Apk = O, Bpk-O, Bpk = 0 (при р:> 1). Если же р = О, то коэффициенты Д,* и Bok, вообще го-норя, не равны нулю, но формулы для их вычисления могут быть несколько упрощены:
л°*= iixhn?Ii =
9
” [ 'о( KfIF I і [~)rd<fdr.
L ' ' ' о —*
280
Часть III
Вынося за знак внутреннего интеграла сомножители, не со-
К
держащие у, и учитывая, что J </ <р = 2 тс, получим, после со-
—1C
кращения:
= i>K(Vn г If{r)h (4^)^-
Аналогично находим
в°‘=кит! (4-)'*¦
Подставляя найденные коэффициенты в ряд (15), заметим, что он превращается из двойного ряда в обычный: все члены во второй строке этого ряда исчезают, а из членов первой строки остаются только те, для которых р = 0; поэтому суммировать надо только по k, но не по р. Окончательно формула (15) перепишется следующим образом:
«(г./) =2 (?COS^ +Bmsin^)/0(4^)- (18)
Решение, записанное в форме ряда (18), легко поддается исследованию. Заметим, что колебание мембраны раскладывается в ряд более простых колебаний. Первый член этого ряда
Ui (г, t) = (л01 cos°~J~ -f B01 sin ) J0 (—(— )
ац\0)
изображает периодическое колебание с частотой колебаний
в единицу времени. Если бы мембрана колебалась по закону, заданному функцией U1 (г,/), то в любой момент времени она имела бы форму]
«. = -Л
где К\ — коэффициент, зависящий от t (его максимальное значение равно ]/ Aoi + Bh ); изображение этой поверхности см. на рис. 78 а; это — поверхность, образованная вращением первой полуволны графика функции Бесселя J0. Колебание, задаваемое
Г лава 2, § 10
281
функцией U1 (r,t), не имеет узловых точек (т. е. точек, остающихся неподвижными в процессе колебания), за исключением точек границы. Функцию U1 (r,t) будем называть основным тоном колебания мембраны.
Второй член ряда
, л h м0) ‘ , S ¦ -4°’ M, Mw г\
««('¦.О “ (Люcos —j--------1- Bm sin —J— JJ0 \—f— I
изображает колебательный процесс с частотой (эта частота
приблизительно вдвое больше, чем частота основного тона). Если бы колебание подчинялось только закону Ui то мембра-
( |*50)- г \
па в любой момент t имела бы форму Wa=-ZC2-^o у—/» где
Ki зависит от t (причем шах Ki = V Am Ч- #02 ); изображение этой поверхности дано на рис. 786. Колебание, задаваемое Функцией Ui (r,t), имеет линию узлов: это — окружность г =
A0 ]
—-о) 1' Функция ll2 (r> 0 Дает первый обертон колебательного
!*2
процесса.
Останавливаться на рассмотрении остальных обертонов мы не будем; отметим только, что с возрастанием номера k оберто-ч.'і, частота его колебания растет, а амплитуда стремится к нулю (при k-\- со). Обертон порядка k имеет k узловых линий (не счи-
\А0)-1
|<|я контура мембраны). Это — окружности радиусов — ;
282
Часть III
; центры всех этих окружностей находятся в
центре мембраны.
Замечание. Если нам заранее известно, что колебания мембраны являются радиальными (т. е. если начальные функции / и ф не зависят от 9, а только от г), то вывести закон колебания (18) можно непосредственно, минуя общий случай. В случае радиальных колебаний уравнение мембраны приобретает вид:
этом случае начальные условия запишутся следующим образом:
Решая уравнение (19) при заданных начальных и граничных условиях методом Фурье, мы получим для искомой функции и (г, t) в точности то же выражение, которое было получено выше (CM. формулу (18)).
Пример. Найти закон свободных колебаний однородной круглой мембраны радиуса / = 1 м, если в начальный момент она была оттянута в центре на высоту h = IO-2 м и затем отпущена без начальной скорости. Натяжение T и плотность Г мембраны таковы, что а ~ j/"-у- 200 м/сек.
(19)
(член, содержащий ^, исчезает, так как и не зависит от 9). В
и (г, 0 |/==о = / (г); и] (г, t) |/к=0 = Ф (г),
а граничные условия:
и (/, t) = 0; и (г, t) ограничена в круге 0 < г< /.
г
0,01
Очевидно, в данном случае колебания мембраны являются радиальными: если выбрать начало координат в центре мембраны, то начальное отклонение задается формулой
У
sS 1*1
/ (rt 9) - -7- (/ — /•)---“Too ~~r)
Рис. 79
(начальное положение мембраны см. на рис. 79). Так как начальное отклонение f(r>9) и
Глава 2, § 10
283
начальная скорость (всюду равная нулю) не зависят от 9, то колебания являются радиальными. Следовательно, искомая функция u(r,t) удовлетворяет уравнению (19) (при с = 200) и начальным условиям:
Поэтому решение запишется в виде суммы ряда (24), коэффициенты которого вычислятся по формулам:
В примере, рассмотренном на стр. 169—170 (часть II), найдены несколько первых коэффициентов ряда Фурье при разложении функции 1—х на отрезке (0; 1) по функциям Бесселя:
