Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
и (0, у, 0 = 0; и (/, у, 0 = 0, и (х, 0,0 = 0; и (х, m,t) = 0. (3)
Можно доказать (примерно так, как это мы делали для уравнения колебания струны), что эти начальные и граничные условия определяют единственный закон колебания мембраны; можно также доказать устойчивость этого решения. Найдем это решение методом Фурье.
Действуя в соответствии с общим планом, попытаемся найти такие решения, которые представимы в виде произведения трех функций одного переменного
u(xty,t)=X{x)Y(y)T(t), (4)
Глава 2, § 9
265
и удовлетворяют заданным граничным условиям. Граничные условия (3) сводятся к следующим условиям на Х(х) и Y (у):
X(O)=O; Х(/)=0;
Г(0) = 0; Y (т) = 0.
Подставляя решение (4) в уравнение (2), мы получим тождество:
T"XYa= аа (Т X" Y + T X Yff) (5)
(для краткости записи мы опускаем обозначение независимого переменного; штрихи около функции обозначают дифференцирование по тому переменному, от которого эта функция зависит; например, X" обозначает вторую производную от Х(х) по х и т. Д.)
Разделим теперь в равенстве (5) переменные, т. е. оставим в одной части равенства выражение, зависящее только от одного из независимых переменных, а в другой части равенства — выражение, зависящее от двух остальных переменных; при этом мы изолируем то независимое переменное, для которого у нас заданы граничные условия (например, у). Это можно сделать следующим образом:
TXY-Q1TXnY ~a*TXY",
откуда
Т"Х—аъТХ" __ Ya OiTX ~ У *
Так как левая часть этого тождества не зависит от у, то и правая не зависит от у; аналогично убеждаемся в том, что ни левая, ни правая части этого тождества не зависят от х и следовательно, они равны постоянной величине; обозначим ее —р.:*
Т"Х—аъТХ" Yn
а*ТХ ~ Y |А ’
Следовательно,
K"-f{xK = 0, (6)
TwX-Ci1TX" + Jia2TX-O. (7)
* Cm. сноску на стр. 220.
266
Часть 111
Уравнение (6) вместе с граничными условиями, налагаемыми на Y(у), позволяет найти все допустимые значения ц и все соответствующие решения Y (у):
я» 2аїга Zi2It2
Pi - та; н- т2 ; • • ¦. р* — т* ; • • ¦
УМ =Sin^; Yt(y) = Sin^;...; Yk(y) f= sin; . . . (8)
Подставляя теперь (л = рк = —а— в равенство (7) и разделяя в нем переменные, получим:
T'' X-O1TX" + -^a2TX = О,
і т8 Лгатгааа
л: *
Повторяя обычные рассуждения, убеждаемся в том, что обе части этого равенства не зависят ни от t, ни от х. Приравнивая их константе —X, получим
IltU2Oi
Г' + -^-Г
a2 T X
откуда
X" + XX = O; (9)
+ + = 0 . (10)
Функция Х(х) должна быть нетривиальным решением уравнения (9) и должна удовлетворять граничным условиям: X (0) = 0, X (I) = 0. Это позволяет нам найти все допустимые значения X:
і _ я2 . -j _ 2?2 . . > _ І2*2 .
— /а ’ I2 /я » • • •
и соответствующие им решения уравнения:
X1W = Sin"; X2 (ж) = Sin-^-;...; Xl(Jt) = Sin-^-;... (II)
Подставляя, наконец, в (10) X = Xi=^i-, получим уравне-
ние для определения T (t):
г (о + * *•(?- + ?) т (/) = о.
Глава 2, § 9
267
Обозначим для краткости
*-—/? + ?• <12>
Каждой паре номеров і, k соответствует свое решение T (/); обозначим то решение, которое отвечает номерам і и k, через Tik(t). Тогда уравнение для определения Tik (/) примет вид:
T ik (t) + YiA о2 T ik (t) = 0.
Следовательно,
Tik (0 = 4а cos a ilk t + Blk sin a r,k U
где Alk и Btk — произвольные постоянные.
Подставляя найденные Xl(X)t Yk(y) и Tlk(x,y) в равенство (4), получим всевозможные нетривиальные решения уравнения
(2), удовлетворяющие заданным граничным условиям и представимые в виде произведения функций одного переменного:
Uik (х> У. О = sin ^ sin (Alk COS с / + Blk sin a jlk t),
где і и k пробегают все натуральные числа от 1 до оо, а определяется из формулы (12).
Перейдем теперь ко второму этапу решения задачи. Возьмем сумму всех ulk(x, у, t) (i = 1, 2, 3,...; k = 1, 2,3,...). При любых значениях коэффициентов Alk и Blk эта сумма удовлетворяет как данному уравнению (2), так и граничным условиям*. Остается
подобрать эти коэффициенты так, чтобы сумма 2 Ulk (х, у, t)
l.k
удовлетворяла также и начальным условиям.
Итак, пусть искомая функция u(x,y,t) является суммой
двойного ряда Л ulk(x,y,t): і,к
U (X, y,t) = Ti (Atk cos aiik t н- Blk sin а t) sin ^ sin (13) i.k
Если в этом равенстве положить t = О и учесть начальное условие, то мы получим следующее тождество:
/ V V1 а • fax kny
9 (•*. У) = 2j Au, s>n— sin l.k
* При условии, что этот двойной ряд сходится и что его можно дважды почленно дифференцировать по каждой переменной.
268
Часть III
Это — разложение функции <р(х,у) в двойной ряд Фурье (по синусам); находим его коэффициенты:
К = JJ ? (*, У) sin ^ sin da. (14)
а
Аналогично найдем и Blk. Для этого продифференцируем почленно равенство (13) по t (допуская, что такое дифференцирование двойного ряда возможно):
ut(xtyJ)=Yi(—Alka TlftSin aiikt + Bik а Tift cos a ^ik Z)sin^f sin^,
1,к 1 m
и подставим сюда t = 0. Тогда, учитывая второе начальное условие, получим тождество:
