Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
V (О, t) = U (0, t) — U (0, t) = а (0 — а (/) = 0;
V (/, t) =и (/, 0 - U (/, t) = P (t) - P (/) » 0.
* Если неоднородные краевые условия (3) были другого вида, то функ* цию U (х, t), удовлетворяющую этим краевым условиям, надо выбирать иным способом.
Так, например, если заданы условия их (0, t) = а (/), их (/, /) == P (/), то
P (0 — ® (0 я* ~
в качестве U (х, /) можно взять U (х, t) = а (/) х +-^---- ~2~• Тог-
да функция v(x, t) = и (х, t) — U (х, t) будет удовлетворять однородным краевым условиям: Vx (0, 0 = 0, vx (/, t) 2 0.
Если краевое условие на одном конце относится к отклонению: ир. 0* «(О. а на другом конце — к угловому коэффициенту касательной: ux(l,t) = P(О» т0 к аналогичному результату приведет замена переменной
v(x, t) = u(x,t) — U(x,t), где U(x ,0 = « (0 + -# ~•
Пусть искомая функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (1) и начальным условиям (2); тогда функция v (x,t) должна удовлетворять следующему уравнению*:
Vtt —a* Vxx = f (х, t) — Uft (х, t),
(1а)
и следующим начальным условиям:
V (х, 0) — и (х, 0) — U (х, 0) = <р (х) — а (0) —-v't (х, 0) Ut (х, 0) — Ui (х, 0) = ф (х) — о' (0) —
P(O)-C(O) „ і ¦*»
Р'(0)-«'(0)„ (2а)
1 " в _ "¦ ’Л •
/
Кроме того, функция v(x,t) удовлетворяет нулевым граничным условиям 1/(0,/) = 0, v(l,t) = 0.
Для того чтобы найти функцию v(xtt), удовлетворяющую уравнению (1а), начальным условиям (2а) и нулевым граничным условиям, достаточно применить метод Фурье, рассмотренный в
§ 1 (если правая часть уравнения (1а), т. е. / (х, t) — Utt (х, t), равна нулю) или в § 5 (если правая часть уравнения (Ia) отлична от нуля).
Зная і)(x,t), можно из формулы (4) найти u(x,t). В силу теоремы единственности решения (которая для случая неоднородных граничных условий также имеет место), заключаем, что других решений наша задача не имеет.
Пример. Пусть однородная струна, заданная на отрезке (0; I), закреплена в левом конце, а правый конец колеблется по закону: u(l,t) = msino)/. Найти закон движения струны, считая, что начальное отклонение и начальная скорость в каждой внутренней точке струны равны нулю и что на внутренние точки струны не действует никакая внешняя возмущающая сила.
Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет отклонение струны u(x,t), имеет вид:
і де а* — заданное число, зависящее от линейной плотности Г и
u’tt — a9 Uxx = 0,
(6)
натяжения T струны
Начальные условия:
и (х, 0) = 0 ; Ut (х, 0) = 0 ;
(7)
іраничные условия:
и (0, t) = 0, и (/, 0 = т sin ш /.
(8)
256
Часть III
Согласно теории, сделаем замену переменной v (х, t) =* и(х, /)—
— U(x,t), где U (xt t) — какая-либо функция, удовлетворяющая
условиям (8), например ?/(*,/) = -y-msinu>/. Тогда функция
v{x, t) = u(x,t)---- tn sin о) / (9)
будет удовлетворять нулевым граничным условиям:
V(OJ)=O , v(l,t) = Ot (8а)
уравнению
Vtt — = -у- m си* sin ш / (6а)
и начальным условиям:
v(x,0) = 0; Vt (х, 0) — —¦ - . (7а)
Итак, для того чтобы найти функцию v(xt /), надо решить неоднородное уравнение (6а) при неоднородных начальных условиях (7а), но с однородными граничными условиями (8а).
Решая эту задачу методом, рассмотренным в § 5, находим v(xt t):
v(x, t ) =
OO
2m ш (— I)* ( k an ^kant
n / A2Q8Tt2 \
*•"'*(—T=— )
(k an . k an t . , \ . kn.
---Sin----iu sin 0) / sin-
It I I
(при условии, что to не равно ка* ни при каком натуральном k).
Учитывая теперь замену переменной (9), найдем окончательно u(x,t):
OO
, JV 2m со V1 (—О I kan . kant . Л . knx
u(x,t)=----- Y-------—------- ----Sin------iosint)/ sin----
¦*/ я Lx .^2о2я2_ш^ \ I I I I
k-i k
-^-m sin о /.
Ша ІаЩаш^Щі
Глава 2, § 7 ___________257
§ 7. Решение уравнения теплопроводности для конечного стержня
Пусть на отрезке [0; /] оси Ox расположен весьма тонкий однородный стержень, изолированный в тепловом отношении от окружающей среды. Только на концах этого стержня поддерживается некоторая определенная температура, постоянная или меняющаяся с течением времени по какому-либо заданному закону.
Если начальное распределение температуры в стержне известно, то для того, чтобы узнать закон распределения температуры и н любой точке стержня х в любой момент времени t, надо найти решение дифференциального уравнения
а“ <*•!?=о (о
dt Ox2
при начальном условии
ы(*,0) = ср(х) (2)
и при граничных условиях:
и(0, t) =а(/), ы(/, t) « P(Z) (3)
(где a(t) — закон, по которому изменяется температура в левом
конце стержня, а Р(/) — в правом). В случае, если внутри стерж-
ня имеются источники тепла или поглотители тепла, причем функция А (лг, І) дает плотность распределения тепловых источников, то уравнение (1) заменится следующим:
ди 9 д2и a / j\ /м
ITt а 0 • (4)
Для того, чтобы найти решение уравнения (1) или (4) при начальных условиях (2) и граничных условиях (3), надо сделать замену переменных с таким расчетом, чтобы новая неизвестная функция удовлетворяла однородным граничным условиям*. Для ^того введем функцию v(x,t), связанную с искомой функцией и (х, /) соотношением:
