Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
* Первое из этих условий сразу вытекает из граничного условия (4'); второе условие — требование ограниченности функции — совершенно ест ест* венно.
Глава 2, § И
287
Г ^l2
Подставим в (9) X = !—; обозначая решение этого уравнения через Tpk(i), получим:
г I T о
1 Pk^ /2 1 Pb -U’
откуда
2 /
(где Ajpk—произвольная постоянная).
Подставляя теперь найденные функции Ф (9), R (г) и T(t) в равенство (5), получим два набора решений для и (г, 9, /): первая группа решений получится, если в качестве Ф(9) принять cos р9 (р> 0), вторая —если в качестве Ф (9) принять sin /99:
-[f1]*' , ,р)г,
Uph 9, 0 — Apk е '¦ cos р9 • Jp I —j—J ;
-[^T' , ,„ч
uPk (г, Ь t) = Apt е '¦ SWfXf-J I J .
Все эти решения удовлетворяют граничным условиям (4'). Для того чтобы были удовлетворены еще и начальные условия (3), мозьмем сумму всех Upk и ирк:
«*[^]2/
“(<•. 9. O=S S Л,*е ‘‘ +
P=O л=і
I2/
OO OO
+ SS^W ? (U)
P=1 *=1
н подставим сюда t = 0. Тогда получим:
f(r,9)= ? Ij Apkcospcp-JpI +
P=*о л=і Л
OO CO
288
Часть III
Тем же путем, как это было сделано выше (см. стр. 276—278), найдем, что
^pk ~ а Jy- j njp>)]a Л ^ ^r' —j cospy da, р>1,
= «[>;( ^j]*" Яf (г'9)' ^ )sin pyda’р> '•
^o*= »[^(^)]* Я/(г,9)’у»(-т—г)*- <12)
Подставляя найденные коэффициенты Aok, Xpkt Aok в двойной ряд (11), получаем искомое распределение температуры внутри цилиндра.
Легко видеть, что при і -> + оо температура в каждой точке внутри цилиндра стремится к постоянной величине, а именно, к той температуре, которая поддерживается на поверхности цилиндра (т. е. к нулю). Это следует нэ того, что при t-* + co каждый член ряда (11) стремится к нулю (за счет сомножителя
е~~---------Г
Радиальное распределение температуры внутри цилиндра.
Если начальное распределение температуры внутри цилиндра не зависит от у (а только от г), то и в любой, более поздний момент времени / это распределение не может зависеть от у. Мы говорим тогда, что распределение температуры внутри цилиндра является радиальным. В этом случае формулы (12) для коэффициентов ряда (11) сильно упрощаются:
Apk==O при р> I; Apk = О,
w>)]4rf(r)4^y (|3)
Следователь но, и ряд (11) упростится. Вместо двойного ряда здесь уже будет обычный ряд:
~ _ .а1М0)]* t /4°М
Yi Aoke l' ^ / J * О4)
где коэффициенты Aok вычисляются по формулам (13).
Глава 2, § 12
289
§ 12. Стационарное распределение температуры внутри бесконечного цилиндра. Плоская задача Дирихле (для круга). Задача о ста-ционарном отклонении мембраны
Рассмотрим опять бесконечный круговой однородный цилиндр, ось которого направлена по оси Oz, а радиус сечения равен /. Будем считать, что температура внутри цилиндра установилась, и найдем закон распределения этой температуры, предполагая, что на границе цилиндра в каждой точке поддерживается определенная, не меняющаяся с течением времени температура. Для того чтобы задача была содержательной, надо потребовать, чтобы в различных точках границы была различная температура: ведь если всюду на границе поддерживается одна и та же температура, то такая же температура, в конце концов, установится и всюду внутри цилиндра.
Итак, пусть на границе цилиндра задана температура, зависящая от положения точки на границе. Рассмотрим тот случай, когда эта температура не зависит от z (а следовательно, зависит только от угла 9); иначе говоря, рассмотрим тот случай, когда распределение температуры на поверхности цилиндра одинаково во всех сечениях, перпендикулярных к оси Oz. Ясно, что в этом случае распределение температуры внутри цилиндра также не будет зависеть от z\ следовательно, здесь имеет место плоская задача Дирихле.
Как известно (см. главу 1, § 3), эта задача сводится к тому, чтобы найти то решение уравнения Лапласа _.л\« = О, ко-
торое принимает на поверхности цилиндра заданные значения. Будем искать и как функцию от цилиндрических координат точки: и = и(г, 9) (мы учли, что и от г не зависит). Тогда уравне* ние Лапласа примет вид:
1 ди дъи 1 дЧ п
г dr dr* г» а<Pa ~ ’ Iі/
а граничное условие запишется так:
и (г, 9)1=/ = /(9). (2)
где / (9) — заданная функция. Кроме условия (2), очевидными.
Дополнительными условиями на функцию и (г, 9) являются следующие:
и (г, 9) ограничена внутри цилиндра; (S)
и (г, 9) периодична относительно 9, с периодом 2тс. (4)
Ю Ю. С. Очан
290
Часть Hf
Заметим, что условия (3) и (4) являются однородными, в отличие от заданного условия (2), которое однородным не является.
В этой задаче нет начальных условий (искомая функция не зависит от времени t)\ тем не менее, метод Фурье применим и эдесь. Мы поступим следующим образом: найдем все решения уравнения (1), представимые в виде произведения
w(r, 9) = /?(г)-Ф(<р) (5)
и удовлетворяющие однородным условиям (3), (4). Затем построим ряд из решений такого вида (с неопределенными коэффициентами) и подберем коэффициенты этого ряда так, чтобы выполнялось также неоднородное граничное условие (2).
