Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
IJ данном случае в ряд Фурье разлагается функция, в 100 раз меньшая; следовательно, и коэффициенты Фурье уменьшатся в 100 раз; поэтому
Итак, ряд (24) в данном случае приводится к виду (выпишем только два первых члена этого ряда):
и (г, t) = 0,00984 J0 (2,405 г) cos 4811 +
+ 0,00666/0 (5,520 г) cos 1104 / + ...
Первый член ряда (основной тон колебания) представляет собой колебание с частотой
Амплитуда этого колебания равна Ai = 0,00984 ж.
Второй член ряда дает первый обертон колебательного процесса. Здесь частота /а = 176 колебаний в секунду, а амплитуда Ai == 0,00666 м.
и (rt t) |,*о = 100 (1 — 01<-о — °*
і
Ci = 0,984. . .; C2 — 0,666. . .
A1 = = 0,00984 ..At = = 0,00666
, М0) 200 2,405
” 2* ~ 6,28 ~
mMF*
284
Часть ///
§ И. Решение задачи об остывании бесконечного круглого цилиндра
Рассмотрим еще одну задачу, которая приводит нас к рядам Фурье по функциям Бесселя.
Пусть нам задан бесконечный однородный круговой цилиндр; будем считать, что его ось направлена по оси Oz и что радиус его поперечного сечения равен L
Если внутри цилиндра нет ни источников, ни поглотителей тепла (т. е. если теплообмен свободный), то, как известно (см. главу 1, § 3), распределение температуры и внутри цилиндра удовлетворяет уравнению
Если при этом ни граничные, ни начальные условия не зависят от Zt то искомая функция и также не зависит от г (т. е. картина распределения температуры в произвольный момент времени t будет одна и та же во всех горизонтальных сечениях цилиндра). В этом случае и зависит не от четырех, а только от трех переменных: от х, у, і.
Уравнение (I)t которому удовлетворяет искомая функция, легко привести к уравнению в цилиндрических координатах:
Слагаемое, содержащее производную по г в выражении для лапласиана, мы опустили, так как по условию и не зависит от z. Если обозначить искомую функцию через и (г, <р, /), то граничные и начальные условия могут быть записаны следующим образом:
начальное условие
или
(1)
И('. 9» О U0 =/('. 9);
(3)
граничное условие
и {г, % О-
(4):
Это — плоская задача теплопроводности.
В общем случае здесь неоднородным является не только начальное, но и граничное условие. Рассмотрим частный слу-
Глава 2, § U
285
чай этой задачи, когда всюду на поверхности все время поддерживается постоянная температура; выбором соответствующего начала на температурной шкале можно сделать так, чтобы эта постоянная температура равнялась нулю. Итак, заменяя условие (4) условием (4'):
ч(г, Ь 0U/=°t (4')
мы придем к задаче с однородными граничными условиями. Процесс решения этой задачи почти не отличается от процесса решения уравнения круглой мембраны.
Итак, найдем решение уравнения (2), удовлетворяющее начальному условию (3) и однородному граничному условию (4'). Будем искать сначала решения, удовлетворяющие условию (4') її имеющие вид:
u(r,<p,t) = R(r)0(cp)T(t). (5)
Подставляя в уравнение (2) и разделяя переменные (перенося в одну часть равенства члены, зависящие только от 9, а в другую— от t и г), получим:*
а»
T'R — — JR'T — a2R"T а1
тTRT
Обе части равенства являются постоянными. Приравнивая их константе — V, получим два уравнения:
rR-y-R'T — a‘R"T + v ^RT = O, (6)
ф" -f vф = 0. (7)
Так как температура u(r,<p,t) в данной точке зависит только от момента времени / и от положения точки, то она не может измениться при замене 9 на 9 -f 2к. Таким образом, и (г* 9* 0 — периодическая функция с периодом 2тс. Ho тогда и Ф(<р) удовлетворяет тому же условию:
Ф (? + 2л) =S= Ф (9). (8)
• Как и в предыдущих параграфах, обозначения независимой переменной опускаются. Штрихи около функции обозначают дифференцирование по той переменной, от которой эта функция зависит.
286
Часть III
Это условие выполняется только при V, равном квадрату целого неотрицательного числа:
Vg = 0, Vj =S 1®, •..( Vp = P t...
Числу V0 = 0 соответствует (с точностью до постоянного множителя) только одно решение, удовлетворяющее условию (8)
Ф0 (9)==1. Каждому из остальных чисел Vp (р> 1) отвечают по две собственные функции _
Фр (9) == COS РФ; Фр (9) = sin рф.
Подставим теперь v = р2 (р > 0) в равенство (6) и разделим в нем переменные:
1 р*
r Rtt + -R'- тг R _ = _ .
Приравняв каждый член этого равенства константе — X, мы приходим к следующим двум уравнениям для определения T(t) и R (г):
T + Xa2T = 0; (9)
r*R" + rR' + (Xr2 -р2) R = O. (10)
Займемся последним из этих уравнений. Так как для R (г) нам
известны граничные условия:
R (I) = 0; R (г) ограничено при г *-> + О*,
то мы можем легко найти собственные числа X и собственные функции R (г). Эта краевая задача (см. часть IIt § 5) имеет следующие собственные числа:
ыт. т\ . ит.
Ja » »•••». ja » »
и соответствующие им собственные функции:
Rpi (г) = ; • • •: Kr* W = jP (4-'); - •
где, как и раньше, (aJp)< < ... — все положительные корни
бесселевой функции Jp. Индекс р пробегает целые значения от
О до + °°; индекс k — от 1 до +00-
