Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Попытаемся расшифровать -это условие. Пусть уравнение мембраны (т. е. уравнение той поверхности, форму которой приняла мембрана) в некоторый момент времени будет и = f (х, у) (ось Ou перпендикулярна плоскости Оху). Тогда уравнение касательной плоскости в точке (х, у, и) примет вид: U — и =?
~ —*) + (F — у), а следовательно, вектор нормали за-
пишется так:
Двугранный угол у между касательной_плоскостью и плоскостью Oxy равен углу между векторами п и k. Поэтому "cos?=*=
1 a tg т + /|А»,
Vi + (и;)! +Ю2 V \дх' \ду'
Следовательно, если tg2? ничтожно мал по сравнению с еди-
Далее, условимся рассматривать только поперечные колебания мембраны; это значит, что если точка мембраны имеет в положении равновесия абсциссу х и ординату у, то она имеет те же
7 Ю. С. Очар
и (х, 0) = 9 (х), Ut (х, 0) = (х),
ницей, то в сумме
можно пренебречь слагае-
194
Часть III
абсциссу и ординату во всем процессе колебания: меняется только аппликата и.
Наша задача заключается в том, чтобы найти закон колебания мембраны, т. е. найти функцию и = и (х, у, t), дающую отклонение и любой точки мембраны (с координатами х, у) в любой момент времени t.
Для того чтобы найти эту функцию, составим дифференциальное уравнение, которому она удовлетворяет.
Докажем предварительно две леммы.
Лемма 1. Если функция f(x, у, г) непрерывна всюду на поверхности 5 и
JjV(*. «/. z)dS = 0
a
для любого куска s поверхности St то f (х, у, z) =н 0 (во всех точках поверхности).
Доказательство. Допустим, что на поверхности нашлась точка M0, в которой наша функция отлична от нуля; например, / (M0) = а > 0. В силу непрерывности функции можно описать такую окрестность вокруг точки M0, что всюду в этой окрестности
f{x, у, z)> у.
“Обозначим через S0 ТУ часть поверхности S, которая попала йнутрь данной окрестности, и оценим интеграл по поверхности S0:
JJ/(*. S0X).
Итак, на поверхности 5 нашлась такая ее часть S0, что интеграл по S0 отличен от нуля, а это противоречит условию. Следовательно, допущение о том, что существует точка на S, где функция отлична от нуля, неверно. Значит f(x, у, z) = 0 всюду на S.
Замечание. Доказанная лемма справедлива не только для поверхностных, но и для тройных, двойных и определенных (одномерных) интегралов. Так, например, для тройных интегралов она читается следующим образом: «Если функция f(x, у, г) непрерывна в области V и если для всякой области v, заключенной
в V, имеет место у•г)dV = °' то f (х, у, z) = 0 всюду
V
в V». Доказательство этой леммы для тройных, двойных и определенных интегралов ничем не отличается от приведенного доказательства для поверхностных интегралов.
Глава I, § 2
19S
Лемма 2. Пусть функция f(x, у, г) и ее частные производные первого порядка непрерывны на гладкой поверхности S. Если для любой замкнутой кривой /, лежащей на S, имеют место равенства:
то / (х, у, z) = const всюду на S.
Доказательство. Пусть s — произвольный кусок поверхности S, а / — его граница. По условию,
f / (*. у, z) dx = 0, f f{x, у, z) dy = 0.
/ I
Применив к каждому из этих интегралов теорему Стокса, получим:
JJ (!cos^-Ifcos Ods=0'
ij(~|-cosa + lrcosOdS== °*
S
Так как эти равенства имеют место для любого куска поверхности S1 то, по лемме 1, имеют место тождества:
«У * о df л
Wcos ?~ifccost ^0'
У ,St -Stcos M--^cost = O1
откуда
К .dL К
дх ___ ду ___ дг
cos a cos fi cos у ’
т. е. составляющие градиента функции / пропорциональны составляющим единичного вектора нормали к 5. Ho в таком случае градиент во всех точках поверхности S сам направлен по нормали к St а это возможно только тогда, когда *S является Поверхностью уровня для функции /(х, у, г) (CM. стр. 16). Следовательно, f(x, у, г) постоянна на S.
Выведем теперь дифференциальное уравнение колебания мембраны.
Рассмотрим какой-либо участок мембраны; пусть в состоянии равновесия этот участок занимает область о (на плоскости Oxy),.
196
Часть III
а в некоторый момент t он принимает форму 5 (рис. 61). Так как, по условию, колебания являются поперечными, то 5 проектируется на плоскость Oxy в область о.
Рассчитаем все силы, действующие на поверхность 5.
Это прежде всего силы натяжения, действующие на поверхность S и приложенные к ее границе. Обозначим через T (х, у, и)
Рис. 6/
численную величину силы натяжения на единицу длины контура вблизи точки (х, у, и). Точнее говоря, T (х, у, и) определяется
UfI
как предел, K которому стремится отношение J- при M1-*-
-+¦ М, где точки M (xt у, и) и M1 берутся на некоторой линии It a &F — вся сила натяжения, приложенная к участку MzVf1 линии /. Величина T (х, у, и) называется плотностью сил натяжения в точке (х, yt и)*.
Для того чтобы подсчитать всю силу натяжения, действующую на S (приложенную к контуру /), разобьем I на ряд маленьких элементарных дуг. Вектор силы натяжения, приложенный к элементарной дуге Д/, перпендикулярен к этой дуге (точнее, к ее касательной) и расположен в касательной плоскости к поверхности 5; следовательно, он перпендикулярен к единичному Вектору п нормали поверхности 5 (см. рис. 61). Так как вектор
