Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Теоремы 1—3 доказаны для отрезков [—я; я] и [0; я]. Аналогичные теоремы имеют место и для тригонометрических систем на отрезках [—/; /J и [0; /]; доказательство теорем для этого, более общего, случая проводится аналогично.
1 - 1 * -~ J / (х) sin nxdx ~ — ' 2 J / (*) sin nxdx ~
vj/w
sin nxdx — b.
* Здесь учтено, что [f (*) — Sn (л:)]2 — четная функция.
г
182
Часть Il
Перейдем к доказательству теоремы о замкнутости семейства полиномов Лежандра.
Теорема 4. Система полиномов Лежандра
Po (•*)• рЛх)> Pt(x).......Pm(X),...
замкнута на отрезке [—I; 1] в классе ограниченных кусочнонепрерывных функций.
Доказательство. Заметим, прежде всего, что любой многочлен Q„(x) может быть представлен как линейная комбинация полиномов Лежандра. Для этого прежде всего докажем, что все функции л:0, JC1, Xі,,.., хп,... представимы как линейные комбинации полиномов Лежандра.
Для X0, JC11 X2 это очевидно: jc° = 1 • P0 (х); х1 = 1 • P1 (х);
2 1
Xі ~ Рг(х) + -уР0(х). Допустим теперь, что это доказано для
всех степеней X до п-ой степени включительно, и докажем, что д.л+1 хакже представима как линейная комбинация полиномов Лежандра. Для этого заметим, что РП+Л (х) ~ с()хяП + CiXn + ...+
-Ьсл+і, где C0 У- 0; поэтому xn+l = ~РпП(х) —-|ї-хя—. ..—
tO tO
?
---е+1; заменяя в этом выражении степени Xn, Xn'1, ... и т. д.
линейными комбинациями полиномов Лежандра (что возможно по предположению), получим и хл+1 представленным в виде такой линейной комбинации.
Итак, доказано, что любая степень Xn представима в виде линейной комбинации полиномов Лежандра. Ho тогда это же справедливо и для любого многочлена Qn (х). Таким образом, всякий многочлен Qn (х) может быть записан следующим образом:
Qn (х) = “о Po (х) + «і Pi (х) -J- •.. + CtnPn (х),
где а0, Ci1,...., ап — какие-то числа.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Пусть f(x) — ограниченная кусочно-непрерывная функция на [—I; IJ и
C0P0 + CipI (*) + C2Pi (X) + ... + CnPn (X) + ...
— ее ряд Фурье по полиномам Лежандра. Возьмем произвольное е > 0 и подберем многочлен Qn (х) так, чтобы его среднее квадратичное отклонение от /(х) было меньше чем в:
/ J1 lf(x) — Qn (*)]2 dx< в.
Это возможно в силу 1-го следствия из теоремы Вейерштрасса. Многочлен Qn можно представить, как линейную комбинацию полиномов Лежандра:
183
Qn (x) = aOpO + aIpI (*)+••• + aNpN (XY
Далее возьмем частную сумму Sn ряда Фурье; так как частная сумма Фурье дает наименьшее квадратичное отклонение от f(x) по сравнению с другими линейными комбинациями полиномов Лежандра порядков < N (см. § 9, стр. 157—159), то
|/" j[f (*) — Sn (х)18 dx < j/" j[f (x) — Qn (*)]* dx , откуда
8 (/, Sn) = |/" JiI/ (x) — Sn (*)]а dx < e.
Ho для всех n>N имеет место неравенство 8 (/, S„) < 8 (/, S^). Следовательно, 8 (/, S„) < з для всех п > Ar.
Итак, квадратичное отклонение частной суммы Sn(x) ряда Фурье (по полиномам Лежандра) может быть сделано сколь угодно малым (для достаточно больших п), т. е. это отклонение стремится к нулю при п -* OO.
Поскольку это имеет место для любой кусочно-непрерывной ограниченной функции, система полиномов Лежандра замкнута в этом классе функций.
Вернемся теперь к краевой задаче для уравнения Лежандра, рассмотренной в § 6. Там было доказано, что все числа вида m(m+ 1) (где m = 0, 1, 2,______) являются собственными числа-
ми этой краевой задачи. Однако там был оставлен без доказательства тот факт, что эта краевая задача не имеет других собственных чисел. Теперь же это можно доказать.
Теорема б. Задача разыскания ограниченного на (— I; 1) решения уравнения (1 — Xі) у" — 2ху' -f \у = 0 не имеет других собственных чисел, кроме чисел Xm = т (т + 1) (т = 0, 1, 2,..).
Доказательство. Допустим, что, кроме чисел X0, X1, X2,..., эта задача имеет еще некоторое собственное число (а (отличное от всех Xm). Тогда ему соответствовала бы некоторая собственная функция <р(х) (отличная от тождественного нуля, ограниченная на (—I; 1) и непрерывная во всех внутренних точках этого интервала). По свойству собственных функций она должна была бы быть ортогональна всем остальным собственным функциям; следовательно, она была бы ортогональна всем полиномам Лежандра, а это невозможно, так как система полиномов Лежандра полна (полнота системы полиномов Лежандра вытекает из ее замкнутости; см. выше, § 9, стр. 156).
184
Часть II
Итак, эта краевая задача не имеет никаких собственных чисел, кроме чисел вида Хш = т(т+ 1).
Теоремы 4 и 5 легко обобщить на ортогональные системы присоединенных функций Лежандра любого фиксированного порядка п и на совокупность собственных чисел соответствующей краевой задачи. Формулировку и доказательство этих теорем мы представляем читателю.
Лаїайаїм;®^
ЧАСТЬ III
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ГЛАВА I
ВЫВОД НЕКОТОРЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
Для решения многих физических задач требуется найти ту или иную функциональную зависимость—например, зависимость какой-либо физической величины от времени, от координат точки и т. д. Непосредственно найти искомую зависимость обычно бывает трудно или даже невозможно; в таком случае мы ставим перед собой задачу: найти связь между искомой функцией и ее производными, т. е. составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет эта функция.
