Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
нение функций / (х) и Tn (х) не превосходит числа -у:
/Н,'и-г.и]'-«і/ ІШ'л
Є
T
Теперь рассмотрим квадратичное отклонение функций f(x) и Tn(X):
Hf
¦ tJ=V hf(x)-T*ixWdx<]/ Л/«-/м)а^ +
+ ]/}[ 'f W -TJx)]'dx < + 4- = в.
* Это неравенство вытекает из следующего утверждения: для любых двух функций и (х) и V (х) из семейства С' имеет место:
Jo, + »)*,)* < Vr JrMx . (I)
ь
Докажем неравенство (1). Прежде всего заметим, что j (и — cv)*dx> 0 при
а
любом с; следовательно,
ь ь ь
J u*dx — 2с J uvdx -J- св J v*dx > 0.
и а а
Если квадратный многочлен (относительно с) неотрицателен для всех эначе-
ШЇаНашїШ
інаниеСеїграниц
§ ІЗ 179
Итак, найдется тригонометрический многочлен, среднее квадратичное отклонение которого от функции f(x) меньше, чем в. Следствие 2 доказано.
Перейдем к доказательству замкнутости конкретных систем функций.
Теорема 1. Общая система тригонометрических функций
{I; sin х\ cos я; sin 2х\ cos 2х\...; sin пх\ cos пх\...) замкнута на [—тс; Jrj в классе кусочно-непрерывных ограниченных функций.
Доказательство. Пусть f(x) — кусочно-непрерывная ограниченная функция на [—тс; тс] и
(«і cos лг -J sin лг)4 (а2 cos 2х-\-b2 sin 2х) + ... +
-f (ап cos пх -f bn sin пх) + ...
— ее ряд Фурье. Возьмем произвольное в > О и подберем тригонометрический многочлен Tn (*) так, чтобы его квадратичное отклонение от f(x) было меньше е:
пий с, то его дискриминант < 0. Поэтому
ъ
u*dx • j v*dx <: 0;
откуда
г ъ і» ь
J UVdx -J
.Я
Ь Г~Ъ г~ъ
j uvdx < l/ Ju*dx ¦ l/ J’v*dx a Y a V 'a
Это — неравенство Коши. Умножая обе его части на 2 и затем прибавляя к ъ ъ
ним J иЫх -}- j v*dx, получим:
а а
Ь Ь Ъ Ь ГЪ ГЪ V
J' U*dx -f 2 j' uvdx 4- J v4x < j u'dx -}- 2 l / j' u*dx • l/ j v'dx -?¦ f v'dx,
a a a a Ja \ a a
НЛІІ
b
f (и -f- u)e dx <
J u‘dx + /1 v'dx I •
Извлекая квадратный корень из обеих частей этого неравенства, получим неравенство (1). Из неравенства (1) сразу следует неравенство в тексте, если
положить м = /(*) — / (*); V = / (*) — Tn (х), а = —п, Ь=п.
180
Часть 11
J l/ (x) — TN (X)I8 dx < е.
ь
Возьмем частную сумму 5л/(х) ряда Фурье; так как частная сумма ряда Фурье дает наименьшее квадратичное отклонение от /(х) (по сравнению с другими тригонометрическими многочленами того же порядка; см. § 9, стр. 157—159), то
(так как квадратичное отклонение 5 (/, Sn) монотонно убывает с возрастанием номера п\ это сразу вытекает из формулы (8) на стр. 154). Следовательно, 8(/, Sn) < є для всех п > N.
Итак, квадратичное отклонение частной суммы 5я(х) ряда Фурье от функции / (х) может быть сделано сколь угодно малым (для всех, достаточно больших п), т. е. это отклонение стремится к нулю при оо. Поскольку это имеет место для любой кусочно-непрерывной ограниченной функции — общая тригонометрическая система замкнута в классе С'.
Теорема 2. Система тригонометрических функций (sin х; sin 2х;...; sin пх;... } замкнута на [0; к] в классе кусочно-непрерывных ограниченных функций.
Доказательство. Пусть /(х) — кусочно-непрерывная, ограниченная функция на [0; я]. Продолжим ее нечетно на [—к; я], т. е. построим вспомогательную нечетную функцию Дх), совпадающую с f(x) на (0; irj. Эта функция также кусочно-непрерывна и ограничена (на [ — п; п|). Ее ряд Фурье по общей тригонометрической системе совпадает с рядом Фурье по синусам для функции f(x) на (0; я|; действительно,*
* Через а„. Ьп обозначены коэффициенты ряда Фурье функции f(x) при ее разложении по общей тригонометрической системе {1, sin a:, cos х, sin2x, cos 2х, . . }; через Ь„ обозначены коэффициенты ряда Фурье функции /(*) по синусам.
] [/ (X) - Sn (AT)I1 dx < l/ J [/ (X) - Tn Wla dx ,
-It T —71
откуда
Ho для всех п > N имеет место неравенство
5(/, SnX^ft Sn)
181
так как f(x) cos пх — нечетная функция;
Здесь учтено, что /(X)Sinnjc — четная функция и что на (0; я] имеет место f(x) ~f(x).
В силу предыдущей теоремы, квадратичное отклонение S„(x) от f(x) стремится к нулю на [ — я; я] при п-+ оо.
Оценим теперь квадратичное отклонение Sfl (х) от f(x) на 10; я]:
[/(X)-Sw(X)I2^X = Y J Ui*)-sn (x)]2dx =
= ~ П7 W— sn (X)Ydx -+0 при п —> со.
Итак, Iim у \\f(x)—S„ (x)la dx = 0, а это и означает (в силу
л -»со У 0
произвольности /(х)), что система {sin х, sin2x,...} замкнута в классе кусочно-непрерывных ограниченных функций на [0; я|.
Теорема 3. Система тригонометрических функций {1; cosx; cos 2х;...; cosnx;...} замкнута на [0; я) в классе кусочно-непрерывных, ограниченных функций.
Доказательство этой теоремы проводится так же, как и доказательство теоремы 2.
Из замкнутости этих систем вытекает, что все эти системы полны в классе ограниченных кусочно-непрерывных функций на соответствующих отрезках (см. стр. 156). Так, например, не существует ограниченной кусочно-непрерывной функции, отличной от нуля, которая была бы ортогональна одновременно всем функциям {sinх; sin2x;...; sinnx;...} на отрезке |0; я).
