Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
* Тело называется изотропным в тепловом отношении, если его тепло-
вые свойства (например, свойство передавать тепло) одинаковы во всех точках и по всем направлениям.
204
Часть III
момент времени t. Зная эту функцию, мы сможем найти распределение температуры внутри тела в любой данный момент времени t\ для этого достаточно зафиксировать t в функции и(х, у, z,t). Эта функция позволит также проследить, как изменяется с течением времени температура в каждой конкретной точке; для этого достаточно зафиксировать координаты точки и проследить за тем, как изменяется и с изменением t.
Для того чтобы найти функцию и (х, у, z, t), надо составить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет эта функция.
Пусть G— произвольная область, лежащая внутри данного тела Vt и S — граница этой области (рис. 63). Через поверхность S за время t из области G выделяется некоторое количество тепла *.
Подсчитаем его двумя различными способами. Приравняв затем результаты вычисления, получим искомое дифференциальное уравнение.
Из физики известен следующий, экспериментально установленный закон (рис. 64): «если даны две равные, расположенные параллельно друг другу, площадки, каждая из которых имеет свою температуру, то количество тепла Lq, переходящего за малый промежуток времени Af от более нагретой площадки к менее нагретой, пропорционально разности температур площадок (Ди). их площади (Д5), времени (Lt) и обратно пропорционально расстоянию между площадками (п)». Если обозначить коэффициент пропорциональности через k (он зависит от теплопроводных свойств среды и называется коэффициентом теплопроводности), то
~*и п U-
Рис. 63
Рис. 64
Lq = —k-—-LS-Lt.
’ п
* Если через поверхность S тепло не уходит из области G, а поступает в нее, то будем говорить, что выделение тепла через S отрицательно.
Глава I, § З
205
Знак минус поставлен потому, что Au и Aq имеют разные знаки: если температура второй площадки выше, чем температура первой (т. е. А и > 0), то тепло переходит от второй к первой (т. е. Д<7<0), и наоборот.
В приведенной здесь формулировке этот закон является только приближенным: он верен лишь для малых Af и п и тем точнее, чем меньше M И Tl.
Используя этот закон, мы можем подсчитать количество тепла, выделяющегося из G через элементарную площадку* AS, расположенную на границе области G. Для этого проведем мысленно параллельно AS (за пределами об- ^
ласти на расстоянии п) другую пло-щадку A S'; если эти площадки дос- ^?Ґ\\
таточно близки, то можно считать, \ \ '
что все тепло, выделяющееся через AS, попадает на AS' (рис. 65).
Поэтому
Lq
-Л-—-AS-A/
п
Рис. 65
где M— какая-либо точка на AS, a M'— проекция точки M на A S'. В пределе (при п-)-0) отношение ц (М ) — M^) перейдет в
производную от и по направлению внешней нормали п. Итак,
Д<7 = _?~.AS-A/.
дп
Разобьем теперь всю границу S области G на элементарные площадки AS1, и на каждой элементарной площадке выберем по точке M1. Тогда количество тепла, выделяющегося из G через Д Si, равно:
и, следовательно, все тепло, выделяющееся (за время Д /) через St равно:
*==S-* 2(?-* V-
* Элементарную площадку AS меж но приближенно считать плоской.
** Коэффициент теплопроводности к постоянен во всех точках данного тела (так как тело, по условию, однородно и изотропно).
206
Часть III
Переходя к пределу при max diam ASi -> 0, получим
или, так как производная по направлению равна проекции градиента на данное направление,
q = — k-Lt- Jj* (gradw-n0) dS\
здесь /I0— единичный вектор внешней нормали.
Применим теперь к полученному поверхностному интегралу теорему Гаусса-Остроградского:
Под знаком тройного интеграла стоит лапласиан и. Поэтому окончательно
q = —и• dV.
О)
Вычислим теперь то же количество тепла q иным способом.
Разобьем область G на ряд элементарных областей A Vk и подсчитаем количество тепла Lqk, выделяющегося из Lvh за время At (рис. 66). Очевидно, количество тепла, выделяющегося за то же время из всей области G, равно сумме всех A qk.
Из физики известно, что количество тепла, отданное в окружающее пространство некоторым телом за время A t, пропорционально массе этого тела и пони-Puc 66 жению температуры этого тела за время
A t. Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом теплоемкости и обозначается через с.
Применить этот закон непосредственно к телу G мы не можем: различные точки этого тела имеют различную температуру и поэтому нельзя говорить о том, чему равно понижение температуры тела за время A t. Однако этот закон можно применить к каждой элементарной области Lvkв отдельности: если диаметр этой области достаточно мал, то можно считать, что во всех ее точках в данный момент температура одна и та же.
Итак,
Lqk = -C^mk-LtU, (2)
Глава I, § З
207
где mk — масса области Lvk (она равна Г*Lvk), a LtU — частное приращение функции и (обусловленное изменением только одной переменной t). Знак «минус» мы поставили потому, что Lq'knLtu имеют разные знаки: если тело остыло за время Lt, т. е. Lt иК О, то тело отдало некоторое тепло и, следовательно, Д<7'Л>0; если же тело нагрелось за время Li, то Lt и > 0, но LqkK 0, так как тело не отдало, а получило тепло.
