Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 55

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 110 >> Следующая


Fab = T (sin а2 — sin Cx1) -f 9 (х, t) • Г ¦ Дх.

Подсчитаем теперь разность Sinot2 — Sina1. Учитывая, что a = а (х) = arctg их, перепишем эту разность следующим образом:

sin а2 — Sina1 = sin а (х + Дх) — sin а (х) = sin а (х)

• Дх.

хс р

Здесь мы применили формулу Лагранжа; Xcp — некоторая точка, заключенная между х и х + Д*-Вычислим производную от sin а (х):

~ sin а (х) = COS а (х) • а' (х) = — 1 — • (arctg и ) =

dX Kl+tgaa(*)

I UXX _ " д2и

^2-uXX — дх2 •

V\+(uxf 1 + КУ Итак,

/ д2и \ .

Sin а,- Sm (агг)1ср -4*.

откуда

pAB ~Т (Щгср- **+?(*¦ '>Г^- О)

С другой стороны, сила, действующая на материальную точку, равна произведению массы этой точки на ускорение; счи-

* Строго говоря, внешняя сила, действующая на участок AB, равна у (х, /) • Г • I AB \, где I AB I — длина дуги AB. Ho, в силу условия малости

х + дх __________

колебаний, I AB I ж Дх. Действительно, | AB I = j* |/~ 1 +( и*)2dx да

X

X + йх

ж j dx — Ах; здесь учтено, что величиной (ы*)2 можно пренебречь, если

х

она стоит в качестве слагаемого рядом с единицей.
ШІайашїШі

Глава I, § I 139

тая (при достаточно малом Дх) отрезок AB материальной точкой, получим

^-жГА*-

Приравняем это к выражению для Fab из формулы (1): -§?.Г.Д* = T-+ 0-Г.to

Деля все члены этого равенства на Дх и затем переходя к пределу при Дл: -V 0 (т. е. при В -*¦ А), получим в пределе:

т-ш=т--Ш+г-^х’^ <2>

Это равенство справедливо в любой точке А струны (т. е. при любом х, 0 < х < /) и в любой момент времени t. Следовательно, равенство (2) является дифференциальным уравнением,

которому удовлетворяет искомая функция и (х, t). Это уравнение можно привести к виду

д2и „ д2и . , /ОЧ

Ht2 ~ а ~дх* + ^ )

T

где через а2 обозначено частное -^r. Легко заметить, что раз-

I2

мерность коэффициента а2 равна -^r, где I — длина, t—время;

M2 *

в частности, в системе единиц СИ, [а2] = —. Это следует из

СЄК

ткг-м гГ1. кг \Т 1 м2 ^

= , (I J — — , It-J = —ъ. Отсюда вытека-

ет, что [а] = — (т. е. а имеет размерность скорости).

CCtс

В случае отсутствия внешней возмущающей силы <р (дг, t) (или в том случае, когда она столь мала по сравнению с силой натяжения, что ею практически можно пренебречь)** уравнение (3) упрощается:

* Символом \k] обозначается размерность величины k.

** Строго говоря, надо сравнивать с силой натяжения T не <р(х, О»

a j ер (х, t)Tdx; дело в том, что у (х, t) не имеет размерности силы, и, следова-

0

тельно, величины (р (х, /) и T не могут сравниваться друге другом. Внешняя сила, действующая на участок Axf равна <р(х,*)ГДх, а следовательно, вся

внешняя сила, действующая на струну в момент /, равна j <р (х, t)Ydx. Ее

о

и надо сравнивать с силой натяжения. В частности, если единственная внешняя сила, действующая на струну,—ее вес и если этот вес очень мал по сравнению с силой натяжения, им пренебрегают, и струну называют не-

иесомой.
190

Часть III

(4)

а/« ~~ “ дх* *

Это уравнение называется уравнением свободных колебаний струны.

Начальные и граничные условия. После того, как составлено уравнение колебания струны, естественно попытаться его решить, т. е. найти ту функцию и(х, t), которая удовлетворяет этому уравнению. Заметим, что если, например, уравнение (4) имеет решение, то оно далеко не единственно (например, вместе с функцией и(х, t) этому же уравнению удовлетворяет функция C'U(xt t) при любом постоянном с, функция и(X, t) + bx + Ct + + d — при любых постоянных Ь, с и d. и ряд других функций). Задача состоит не в том, чтобы найти множество различных решений уравнения (4), а в том, чтобы найти одно определенное решение — а именно то, которое дает закон колебания данной конкретной струны. Для того чтобы из множества всевозможных решений выделить одно определенное — искомое — решение, надо наложить на него ряд дополнительных условий, которые вытекают из физических соображений и характеризуют данную конкретную струну. Эти дополнительные условия должны удовлетворять следующим требованиям:

1) они должны быть непротиворечивы; это значит, что существует хотя бы одна функция и (х, t), удовлетворяющая данному уравнению и всем данным дополнительным условиям;

2) они должны гарантировать единственность решения; это значит, что не может быть двух различных функций, одновременно удовлетворяющих данному уравнению и всем данным дополнительным условиям;

3) они должны гарантировать устойчивость решения; это означает, что незначительное изменение дополнительных условий или коэффициентов дифференциального уравнения приведет лишь к незначительному изменению решения уравнения. В этом случае говорят также, что решение уравнения непрерывно зависит от дополнительных условий и от коэффициентов уравнения.

Обычно, исходя только из физического смысла дополнительных условий, мы можем установить, что существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее этим условиям, и что решение устойчиво. Однако иногда кажущаяся физическая очевидность может подвести; поэтому, строго говоря, задавая дополнительные условия, надо всегда математически доказать существование, единственность и устойчивость решения, удовлетворяющего этим условиям.
Предыдущая << 1 .. 49 50 51 52 53 54 < 55 > 56 57 58 59 60 61 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed