Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Однако это общее утверждение не было нами доказано, да и не может быть доказано в рамках данной книги. Здесь мы ограничимся доказательством замкнутости только для некоторых конкретных систем функций.
В основу доказательства теорем замкнутости мы положим теоремы Вейерштрасса о приближении непрерывной функции многочленами (или тригонометрическими многочленами). Доказательства этих теорем известны из курса анализа. Здесь мы ограничимся их формулировками.
Первая теорема Вейерштрасса. Если f(x)— непрерывная на (а; Ь] функция, то для любого в > 0 существует многочлен
Qn (х) = а0 + O1X + O2Xt + ... + а„хя,
такой, что для всех х из отрезка, [а; Ь\ имеет место неравенство:
I/W-C.WK*-
Вторая теорема Вейерштрасса. Если f(x)—непрерывная на (— я; it] функция, удовлетворяющая условию: /(тс) = /(—я)**, то для любого в > 0 существует тригонометрический многочлен
Tyn (х) = -у?- + (Gi cos X bt sin х) (O2 cos 2х +
-f- b2 sin 2х) + ... -f (ап cos пх -f bn sin пх),
такой, что для всех х из отрезка [—тс; тс] имеет место неравенство
\Г(*)-Тя(х)\ Ce.
Эти теоремы означают, что любую непрерывную на отрезке функцию можно приблизить с любой степенью точности многочленом (или тригонометрическим многочленом, если /(—TC) = = / (тс)). При этом многочлен (или тригонометрический многочлен)
* За исключением общей тригонометрической системы
I . пх тех knx . knx )
11; cos -j-, sin —j~; . . . ; cos —j-, sin -y—; .. Л на интервале (—/; і);
она также замкнута, но ее замкнутость не вытекает из общей теоремы, так как эта система не является системой собственных функций задачи Штур-ма-Лиу вилля.
** Это, в частности, выполняется для любой периодической функции с
периодом 2п.
176
Часть II
будет близок к функции f(x) во всех точках данного отрезка; в этом случае говорят, что многочлен Qn{x) (или Tn (х)) равномерно приближает с точностью до в функцию /(х) на данном отрезке.
Из теорем Вейерштрасса вытекают следующие теоремы: Следствие 1. Если f (х) — кусочно-непрерывная ограниченная функция на [а; Ь], то для любого е > 0 существует многочлен Qn (лг), такой, что имеет место неравенство:
Следствие 2. Если f(x) — кусочно-непрерывная ограниченная функция на [—it; тс], то для любого е >0 существует тригонометрический многочлен Тп(х), такой, что имеет место неравенство:
Эти следствия из теоремы Вейерштрасса означают, что любую ограниченную кусочно-непрерывную на отрезке функцию можно приблизить в среднем квадратичном к многочлену с любой степенью точности (или тригонометрическому многочлену); иначе говоря, можно найти Qn(x) (или Тп(х)) так, чтобы среднее квадратичное отклонение данной функции от Qh(X) (или от Тп(х)) было меньше любого, наперед заданного, положительного числа е.
Доказательство обоих следствий проводится почти одинаково. Ограничимся, например, доказательством второго следствия.
Пусть /(х) терпит разрывы в точках X1 < X2 < ... < хт_х отрезка [—тс; «]. Обозначим, для единства записи, через X0 точку — к и через хт — точку п. Пусть, кроме того, I / (х) I < А всюду на [— тг; п].
Опишем около каждой точки х0, X1, X2,..., xm_Jf хт непе-ресекающиеся окрестности радиуса В, где 8— какое-либо положительное, достаточно малое, число, и определим новую вспомогательную функцию f(x) следующим образом:
а) f(x) — f(x) всюду на отрезке [— тг; к] за пределами этих окрестностей; {
б)/(—ir) = 0; 7 (тг) = 0;
в) на отрезках [х0, X0-H SJ, [X1-8; X1 -f 8], Ix2-S; х2 + 8]..
(xm —8; хт] функция /(х) линейна.
Тогда функция / (х) будет непрерывной функцией, принимающей равные значения на концах интервала (—it; п] и мало от-
а
а
^IaliMausiWl
знаниебезфаниц \
§ ІЗ
177
личающейся от f(x) (рис. 59). Последнее надо понимать
в том смысле, что квадратичное отклонение функций f(x) и f(x) будет очень мало (и может быть сделано сколь угодно малым для достаточно малого 8). В самом деле:
I/ J' і/«-
w —T
f(x)\2dx -=
т
*0+6 ДС, —6 AT,+6 JC,—в
J + .I' ч-J' -I-J +•••+! I /(Jr)-Z(JC)I1At
X0 Ж0-|- в X1-S ЛС|+*
/
т
*о;И *1+Ь
J1 -I- J ч- J +•••-!- J' If(X)-f(x)\*dx<?
X0 Xi S Xt-I
Хт-Ь
V
т
ДГо+в ЛГ|+6 Х« + 8 ...
j H-J +J 4 • ¦ ¦ + J (2А)2 dx =
Xb X1- 6 Xt-I
хт~Ь
= 2А |/ 8 + 28 4 28 -h ... H 28 -|- 8 == 2А У 28т.
Здесь мы разбили участок интегрирования на несколько участков и учли, что f (х) = f (х) на участках (х0 4 8, X1 — 8), (А'| +8, х2 — 8),..., (Xm^l -f- 8, хт — 8), и, следовательно, соответствующие интегралы равны нулю. Остальные интегралы мы оценили,
Учтя, что в них подинтегральная функция [/(х) — /(л:)]* не превосходит числа (2Af.
178
Часть I!
Если выбрать число 8 так, чтобы было 2А У 28т< то
у bw-/wr<i»<f
Воспользуемся теперь второй теоремой Вейерштрасса и найдем такой тригонометрический многочлен Tn (х), что
2/2«
Такой тригонометрический многочлен существует, так как f(x)
непрерывна и / (я) = / (— я) (следовательно, условия теоремы Вейерштрасса выполнены). Заметим, что квадратичное откло-
