Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 45

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 110 >> Следующая


b п b п b

[ St (ф, S„) ]а= J фа Ydx — 2 Hck J ф 9Л Y dx | И с* j <р* 7

A=I а Ь

Ф Фа 7 dx

Принимая во внимание, что Ck

A = I а

и, следовательно,
154

Часть Il

J Ф 9а 7 dx = са J* 9а T бУДем иметь:

а а

b п b п b

[Мф. 5«)],==і Vldx-2ІІ Ck-Ck idx

a A=I а A-I а

откуда

Ь п Ь

[ St (ф, S„) ]'== J фя т ^ ^ ^ j 9^ T dx. (8)

a A-I а

Равенство (8) имеет фундаментальное значение в теории рядов

Фурье. Из него вытекает ряд важных следствий:

а) так как [ St (ф, Sn) ]*> 0, то для любой ортогональной системы {?*} и для любой функции ф имеет место неравенство

b п b

j fidx— 4Lc2k^(p2k^dx> О,

a AsbI а

ИЛИ

п h b

^cA.f9bdA:< j (9)

/г=. 1 а а

б) из неравенства (9) следует, что частные суммы ряда с

оо h

неотрицательными членами ? ск j у>2к 7 dx ограничены числом

А=»1 о

Ь

j ф* 7 dx. Следовательно, этот ряд сходится, и его сумма не

а

Ь

превосходит числа J Ф“ 7 dx:

а

со b Ь

Sc* J9* ^dx< j ф*7 dx. (10)

A-I

Неравенство (10), справедливое для любых ортогональных (с весом 7) систем (9/г (•*)} и для любой функции ф (jc), называется неравенством Бесселя,

в) если ряд Фурье сходится в среднем квадратичном (с весом 7 (х)) к функции ф (JC), то, по определению, это означает, что Sy (ф, Sn)-+0 (при п-+ оо). Ho тогда, в силу равенства (8),

Ь п Ь

j ф2 7 dx— YiC2k f <р2к 7dx-> 0 при п оо.

A-I а
§9

155

или

'n b b

Iim ScJ j fPlydx= Jtya у dx. (И)

«->00 Aaal a a

OO b

Предел этой суммы равен сумме ряда J] c2k J <р\ 7 dx (этот

*=1 а

ряд сходится, как было доказано выше). Следовательно, для сходимости в среднем квадратичном (с весом у) ряда Фурье к функции ф (х) необходимо и достаточно выполнение следующего равенства:

оо ь ъ

^ cI J cPk T dx = J T dx- (12)

А=» 1 а а

Это равенство, равносильное равенству (11), называется равенством Парсеваля.

Замкнутые системы функций. Назовем классом С семейство всех функций ф(*), ограниченных на отрезке [а; Ь] и имеющих на этом отрезке не более конечного числа точек разрыва'".

При этом принято считать тождественно равными друг другу две функции из класса Ct отличающиеся друг от друга лишь для конечного числа значений независимого переменного. В частности, функцию, отличную от нуля лишь в конечном числе точек, мы будем считать тождественно равной нулю.

Пусть задана некоторая последовательность не равных тождественно нулю функций из класса С:

9i(*)» 9а(*).......9„(4-м (13)

ортогональная на \а, Ь] с весом 7. Эта система называется замкнутой в классе Ct если равенство Парсеваля выполняется для любой функции •]>(*) из С. Иными словами, система (13) замкнута в классе Ct если ряд Фурье

Cl ?i (X) + с2ср2(х) + ... + сп ср„ (х) + ...

для любой функции ф(х) из С сходится в среднем квадратичном (с весом у) к самой этой функции.

Рассмотрим (без доказательства) одну общую теорему, дающую достаточные условия замкнутости системы функций.

* Обычно символам С обозначают семейство всех Лункций, непрерывных на сегменте (a; bj; рассмотренное нами семейство С значительно шире, чем семейство С.

Функция, заданная на отрезке [a; Ь\ и имеющая на нем не более конечного числа точек разрыва, называется кусочно-непрерывной на этом отрезке. Таким образом, можно сказать, что С' — это семейство всех функций, ограниченных и кусочно-непрерывных на [а; Ь].
156

Часть Il

Пусть дана задача Штурма-Лиувилля: уравнение

[K(x)t/Y — q(x) y+lp(x)y = 0

с соответствующими краевыми условиями на интервале (а, Ь). Как известно, эта задача имеет бесконечно много собственных чисел:

оха<х8<...<хл< ...,

и бесконечно много собственных функций, причем каждому собственному числу Хл соответствует одна (и, с точностью до постоянного множителя, только одна) собственная функция <pk(x). Семейство всех собственных функций

9>|(*). 9а(х), ?з(х).9а(X),...

является ортогональной системой на [а, Ь] с весом р(х). Можно доказать, что эта система является замкнутой в классе C'.

Теорема. Система всех собственных функций задачи Штурма-Лиувилля замкнута в классе С'.

Таким образом, каждая ограниченная функция ф(х) с конечным числом точек разрыва разложима в ряд Фурье по ортогональной системе собственных функций задачи Штурма-Лиувилля:

C19» (х) + C2 9а (х) -f ... + Ck 9* (х) +-

Этот ряд сходится в среднем квадратичном на интервале (а; Ь) (с весом у (х)) к функции ф (х).

Полные системы функций. Система ортогональных (с весом

T (*)) функций 9j (х), 9а (х),..., 9Л (х),... называется полной в

классе С', если не существует отличной от нуля функции из этого класса, ортогональной (с весом у (х) )ко всем функциям <pk (х).

Теорема. Если система [<pk (х)) замкнута в классе С', то она полна в этом классе.

Доказательство. Допустим, что данная замкнутая система не полна. Тогда найдется функция ф(х) из класса С' ь

такая, что J ф (х) <pk (х) у (х) dx = 0 для k = 1, 2, 3.; следова-

O

тельно, все коэффициенты Фурье функции ф(х) равны нулю; но тогда, в силу равенства Парсеваля (система ведь замкнута по условию!), имеет место:
Предыдущая << 1 .. 39 40 41 42 43 44 < 45 > 46 47 48 49 50 51 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed