Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
NaiaHamtMi
§ п 171
коэффициенты которого вычисляются по формулам:
J Ф (*) рт (*) dx ‘
Cm = -------------= НГ W W PMdx.
j |Р„, (х)]» dx ill
— 1
Пример 1. Разложить функцию
ф(лЛ = { —1 Для — К *< Op
I 1 для 0 < х < 1
в ряд Фурье по полиномам Лежандра (на интервале (—1; 1)). Здесь легко вычисляются коэффициенты Фурье:
і о і
C0 = -y J ty(x)PQ(x)dx = (-1)- Idx+ -L-f I-Idx = O;
-і —і о
1 0 I
= "Г J ^ WpI(x)dx = xdx + 4-J I-Xdx =
і
сг = 4" J ФМ J5* Md* = 0;
—і
і
Hx) P9(X) dx= —-J-; с4 = 0; ^ = •••
Таким образом, первые члены разложения данной функции в ряд Фурье-Лежандра таковы:
ty(х) = M—Г • Р*(х) + Iq рь(х) + ••••«
3 7 5*» —Зх . 9 63*» — 70**4 15х ,
2 8* 2 + 16 * 8 +------------------------------
Пример 2. Разложить функцию ф (х) = — 1 ¦ — (ы —
КI — 2их 4 Wa
фиксированное число, по модулю меньшее, чем 1) в ряд Фурье-Лежандра на (—I; 1).
172
Часть II
Эта функция непрерывна и ограничена на (—1; 1); следовательно, она разложима в ряд Фурье:
(х) + C1P1 (*)+с,Р. (*)+••••
|Л — 2их 4 U2
1
Коэффициенты Cm == — — J — - - 1 .....— Pm (х) dx. He произ-
-1 У I — 2их + Ui
водя всех выкладок, укажем без доказательства, что для любого m > 0 имеет место Cm = ит. Следовательно, ряд Фурье-
Лежандра приобретает вид:
1 P0(X) -Ь и P1(X) + U2P2(X) + ... -H UmPm(X) + .. .
Функция двух переменных ф (лг, и) = — ------называется
^ 1 — 2их 4- Ui
производящей функцией для полиномов Лежандра: если ее разложить в степенной ряд по степеням и, то коэффициенты этого ряда совпадают с соответствующими полиномами Лежандра,
б) Система функций
Pn (X)t Pn+1 (х), Pnn+2 (X), ..., P^ (*), . . .
(я-ые присоединенные функции Лежандра) также образует ортогональную на (—I; 1) систему. Так как эти функции составляют семейство всех собственных функций задачи Штурма-Лиувилля, то они образуют замкнутую систему в классе кусочно-непрерывных ограниченных функций. Следовательно, любая функция этого класса может быть разложена в ряд Фурье по присоединенным функциям Лежандра (п > 0 — фиксированное число):
ф (х) = ап Pn (х) -\-aniiPn+l (х) + ... -f атРпт (х\ где коэффициенты ат(т>п) вычисляются по формулам:
і ^ (*) Kn (*)dx Г
«.--3----------------1??5-
JiIPZ1Ml2d, + I
173
в) Рассмотрим еще одну ортогональную систему функций, связанную с функциями Лежандра. Пусть п — фиксированное целое число (п > 0). Система функций
Pn (COS©), Ря+1 (cos©), . . . , Рт( COS©),... (1)
ортогональна на участке [0; т:] с весом sin©. Действительно,
к —1
j Р“(cos В) ¦ Р" (cos 0) sin SdB = — ( Р* (г) Pnj (z) dz =
= J Р" (z)P" (z) dz = О
-1
(при і Ф /). Заметим, кроме того, что если і = /, то этот интеграл также может быть легко вычислен:
/ <cos e^sin Ш0 = J11 Ml2* = (2?*!).
(см. формулу (9) в § 7); в частности, при п = 0:
f (COS ©)J2 Sin ©rfO = -^p-.
о
Всякая кусочно-непрерывная, ограниченная на [0; п\ функция /(©) может быть разложена в ряд Фурье по ортогональной системе (1):
/ ((м)) = CnPnn (cos0)4 Crtfl Рпп+1 (cos©) 4-... -f- стР„(cos©)+... (2)
Коэффициенты этого ряда вычисляются по общим формулам теории рядов Фурье:
Т.
f / (в) Pn (COS В) Sin в de
Cm — —---------------------
т тс
I Г Я” (cosB) I2 sin BdB откуда J
174
Часть U
О)
о
или, в частности, при п = 0:
IC
Cm = J / (в) Pm (cos Є) sin 0d6. (3')
о
Если функция /(в) ограничена и кусочно-непрерывна на участке [0; тс], то ряд (2) с коэффициентами, вычисленными по формулам (3) (или, при п = 0, по формулам (3')), сходится в среднем квадратичном к /(в); иными словами, ортогональная система (1) замкнута в классе кусочно-непрерывных ограниченных функций. Это вытекает сразу из замкнутости системы полиномов Лежандра (или, при п > 1, из замкнутости системы присоединенных функций Лежандра). Действительно, пусть /(0) ограничена и кусочно-непрерывна при O<0<ix; тогда функция /(arccosx), как функция от х, также ограничена и кусочно-не-прерывна при — 1 < х < I. Ее ряд Фурье по функциям Pm (х) сходится в среднем квадратичном к функции /(arccosx) (в силу
замкнутости системы Pm\x)y m = ti, п -f 1,...):
f (arccos х) = спРп (X) + CnnPn+1 (*) + •.. + CmPnm (х) + ... (4)
Коэффициенты этого ряда равны соответствующим коэффициентам ряда Фурье функции /{6) при разложении по функциям P^t (cos0). Заменяя теперь в равенстве (4) х на cos0, мы приходим к равенству (2), которое следует понимать в том смысле, что частные суммы ряда (2) сходятся в среднем квадратичном с весом sin0 к функции /(0).
Итак, из замкнутости системы Pm (х) (п — фиксировано) вытекает замкнутость системы Pm (cos 0) на участке [0; tcJ.
§ 13. О замкнутости системы тригонометрических функций и системы полиномов Лежандра
В § 9 (стр. 156) было высказано утверждение о том, что система всех собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля замкнута в классе кусочно-непрерывных ограниченных
іїаІаНаШіЩі
§ 13 ____________________________ 175
функций. Из этой теоремы вытекает замкнутость любой из тех систем, которые были рассмотрены^нами выше1".
