Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
ф(х) = 6? sin ^j- + b% sin bk sin —
Рис. 58.
б) Пусть ф(х)— четная функция, заданная на (—/, /). При ее разложении в ряд по общей тригонометрической системе оказывается, что все bk равны нулю, а а0 и ак могут быть вычислены по формулам:
і і
Oo = 7- j Ф W dx\ ak = -7- j Ф (X)cos dx;
таким образом, при разложении четной функции на интервале (— /; /) мы получим ряд, состоящий из одних косинусов:
(In . п х , 2 п х , . knx
^(X)=-J- + «1 cos-y- + а2 cos —--------ь ... -ь a^cos—j— 4....
Пример 3. Разложить по общей тригонометрической системе на отрезке (—1, 1) функцию
( х при О < х< 1,
^ {l при — 1 < х < 0.
Функция ф(х) задается различными аналитическими выражениями на разных участках интервала (—I; 1). Поэтому для вы-
lLSataIfaustMi
§ IO
165
числения интегралов, содержащих эту функцию, представим их в виде суммы двух интегралов: от — 1 до 0 и от 0 до 1;
і о і
ап = — j ф (х) cos —- dx = j ф (х) cos пъх dx j* ф (х) cos mtxdx =
-I -1 о
0 1.
— Jl* Q-OStl-Kxdx + j X COS mtxdx',
-1 о
вычисляя эти интегралы, получим:
О при п четном (п Ф 0),
---^а~Г При П НЄЧЄТНОМ.
3 I
Аналогично вычисляются а0 и bn: а0 — -;г; Ь„ —--------.
и пи 2 п nit
Поэтому
3/2 I \ 1
Ф (х) = -J- -f ( — -^r COS пх-— sin ПХ J-2~ sin 2 пх -f
+ ^----3?- cos Зя*---sin Зпх j...
Этот ряд сходится в среднем квадратичном к ф(х) на интервале (—1; 1).
Пример 4. Разложить в ряд Фурье по общей тригонометрической системе на интервале (—тс; к) функцию ф (х) = Jt.
Эта функция является нечетной; поэтому все ап и а0 равны нулю; что же касается Ьп, то для их вычисления можно воспользоваться формулой (12):
, 2 (* . , (— 1)«+1 • 2
Dn =- — \ х sin п х dx — ------------.
о
Итак,
2 2 2 X ~ 2 sin X-----------------у- sin 2х 4- sin Зх-sin4j»:+- • •
Этот ряд сходится в среднем квадратичном к функции Ф(л') = х на интервале (—тс; тс); следовательно, здесь имеет место
равенство Парсеваля (см. § 9, формула (12)). В данном случае оно примет следующий вид:
OO п п
5] b2n J sin* nxdx = J Xі dx.
n«—l —« —it
(остальных коэффициентов Фурье мы не пишем, так как они равны нулю). Вычисляя фигурирующие здесь интегралы и под-
OO
, . ,Чя+1 2 V1 4 2я»
ставляя bn = (— 1 )л+1 • —, получим 2j7? ‘ ^ = 0ТКУДа
я— I
OO
у 1 _ я*
2j~w ~ ~б~’
п—1
т. е. сумма ряда, составленного из обратных величин квадраюв натуральных чисел, равна :
I + -gj- + -Jr + • • • “Ь + ... = -у-
Аналогично, разлагая в ряд Фурье на (—тс; it) функцию ф (X) = Xi и затем, применяя к полученному ряду равенство Парсеваля, можно найти сумму другого числового ряда:
I + +-Jr +-' + -TTr+ **' = -?--
Эти примеры показывают, что с помощью тригонометрических рядов Фурье можно находить суммы некоторых числовых рядов. Однако основное значение рядов Фурье заключается далеко не в этом: главное значение рядов Фурье заключается в том, что на них основан важный метод решения уравнений математической физики — метод Фурье или метод разделения переменных. Он будет подробно рассмотрен в третьей части.
Теорема Дирихле. До сих пор, говоря о сходимости тригонометрических рядов Фурье, мы рассматривали только вопрос об их сходимости в среднем квадратичном. Естественно, возникает вопрос: имеет ли место для этих рядов сходимость в обычном смысле слова? Для каких функций ф(дс) и для каких точек х ряд Фурье сходится в обычном смысле и имеет суммой Ф (Je)? Ответ на этот вопрос достаточно труден. Даже среди непрерывных функций имеются такие, для которых тригонометрический ряд Фурье расходится в отдельных точках. Однако некоторые
ISalaflausrWi
знэниб без орэниц
§ JO
167
соображения, связанные с вопросом о сходимости тригонометрических рядов Фурье, все же можно изложить.
Для этого введем понятие кусочно-монотонной функции. Функция f(x) называется кусочно-монотонной на интервале (а, Ь), если этот интервал можно разбить на конечное число интервалов (а; X1), (х1#* хг), (х2; х3),..., (xn_v' b), внутри каждого из которых функция монотонна*.
Заметим, что если функция f(x) кусочно-монотонна и ограничена на (а; b), то всякая ее точка разрыва является точкой разрыва первого рода (т. е. в этой точке существуют предел функции слева и предел функции справа). Действительно, если точка С является точкой разрыва, то она либо разделяет два интервала монотонности функции, либо является внутренней точкой такого интервала. В обоих случаях около С найдется левая полуокрестность (а; С) и правая полуокрестность (С; (3), в каждой из которых функция монотонна. Ho тогда в силу монотонности и ограниченности на каждой из этих полуокрестностей функция имеет пределы при X-+І — 0 и при х->С + 0 (т* е- С является точкой разрыва первого рода). Напомним, что пределы функции слева и справа в точке разрыва принято обозначать символами /(С — 0) и /(С + 0).
Теперь сформулируем (без доказательства) теорему Дирихле, дающую достаточные условия сходимости тригонометрического ряда Фурье во всех точках основного интервала.
