Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема Дирихле. Если функция ф(х) из класса С' на интервале (0; /) является кусочно-монотонной на этом интервале, то се ряд Фурье по синусам (а также ее ряд Фурье по косинусам) сходится во всех точках интервала (0; /). Сумма этого ряда равна ф (х) во всех точках непрерывности этой функции, лежащих внутри интервала (0; /); в точках же разрыва, лежащих
внутри этого интервала, сумма ряда равна ~ ..
Аналогичная теорема справедлива и для ряда Фурье по общей тригонометрической системе', однако в этом случае вместо интервала (0; I) надо брать интервал (—/; /).
Замечание. В приведенной теореме ничего не сказано о сходимости тригонометрического ряда Фурье на концах основного интервала. Рассмотрим, как ведет себя сумма ряда Фурье на концах интервала.
На концах основного интервала тригонометрический ряд Фурье сходится для любой кусочно-монотонной функции из класса С. Однако сумма ряда на концах основного интервала ведет
* В частном случае, на некоторых нз этих интервалов функция может оказаться и постоянной.
168
Часть II
себя по-разному для различных типов тригонометрических рядов:
а) сумма ряда по синусам равна нулю на концах интервала (0; /) для любой кусочно-монотонной функции из класса С';
б) сумма ряда по косинусам для кусочно-монотонной функции ф(х) из класса С' на (0; /) равна: в точке х~ 0— числу ф(0 + 0), а в точке х — 1 — числу ф(/— 0);
в) сумма ряда по общей тригонометрической системе для кусочно-монотонной функции ф(х) из класса С' на (—/; /) рав-
I I Ф(— / + 0)-Ъф(/ — 0)
на в точках / и — I одному и тому же числу -----•
Вернемся теперь к рассмотренным в этом параграфе четырем примерам на разложение в ряд Фурье. Так как все функции, приведенные в этих примерах, кусочно-монотонны на основном интервале, то их ряды Фурье сходятся во всех внутренних точках основного интервала; в каждой из этих точек сумма ряда равна значению соответствующей функции (кроме функции ф(лг) из третьего примера: в точке разрыва X0 = 0 сумма ряда равна
ма ряда для функций из 1 и 4 примеров равна нулю,.для функции из 3 примера — единице, а для функции из второго примера: к — в левом конце интервала и 2гс — в правом.
§ IL Ряды Фурье-Бесселя
Пусть нам задана система функций
ортогональная с весом х на интервале (0; I) (здесь р>0 — фиксированное целое число, ці < ji2 <• .¦<!«•*<...— все положительные корни функции Jp(X)). Ряд Фурье для функции ф(*) по этой ортогональной системе называется рядом Фурье-Бесселя функции ty(x). Коэффициенты этого ряда вычисляются согласно общей теории (см. § 9) по формулам
концах основного интервала сум-
J
р
t • • *
(О
169
Интеграл, стоящий в знаменателе, был нами вычислен раньше (см. формулу (6) из § 5):
о
Итак, формулы для коэффициентов ряда Фурье-Бесселя можно привести к следующему виду:
*-Tqfer И«'-тл m
О
Ряд Фурье-Бесселя для функции ']>(*) имеет вид:
Ф W = ClJp (-??) -I- C1Jp (Jiti.) -I-... + CllJp (Jiii) + ..., (3)
где коэффициенты Ck вычислены по формуле (2'). Равенство (3) надо понимать в том смысле, что последовательность частных сумм ряда (3) сходится на интервале (0; /) в среднем квадратичном к ф(х) (с весом х), т. е. что
і
J Ity (х) — Sn (х)]а xdx -+ 0 при п OO.
о
Это имеет место для любой функции ф(х) из класса кусочнонепрерывных ограниченных функций, так как ортогональная система (1) замкнута в классе С' (см. общую теорему о замкнутости системы собственных функций, стр. 156).
Пример. Разложить в ряд по функциям
^оІУчХ), . . , J 0 ({-Ад. х),. . .
функцию ф(лг) == I —X на интервале (0, 1) (здесь Jx1 < Jx2 < ... — положительные корни функции J0(X)).
Искомый ряд будет иметь вид:
I — X = C1J0 ([X1 х) + C2 J0 (JXf *) + ..., (4)
где коэффициенты вычисляются по формулам:
2
Cb =
170
Часть II
или, после замены переменной ркх — гу
с*=1?? hi J (г) * ~ ^ I "•(г) dz] •
Для упрощения этого выражения используем формулы (7а) и (76) из § 4 и вытекающее из них равенство JzJ0(z)dz— ZJ1(Z) + С. Применяя эти формулы (и интегрируя при этом второй интеграл дважды по частям), получим после упрощений:
\
2 >
Сь----T7~t \ia 3~~ 1 h (z) dz.
IA (И*)]* • Ji* J
Подсчитаем, в частности, C1 и с2. Используя таблицы для J1 (х) и вычисляя j* J0(z)dz с помощью разложения функции J0 (г) в степенной ряд,* получим:
C1 — 0,984 ...; Ci = 0,666...
Следовательно, первые два члена искомого ряда Фурье таковы: 1 — х = 0,984 J0 (2,4048*) + 0,666 J0 (5,5200 *)+...
§ 12. Ряды Фурье-Лежандра
а) Система функций
Pо (*)» Pі С*)» Pа (*)» • • •» Pm W »• • • •
(где Рт(х) — полиномы Лежандра) ортогональна с весом 1 на интервале (—I; 1). Эта ортогональная система замкнута в семействе кусочно-непрерывных ограниченных функций. Следовательно, любую такую функцию ф(*) можно разложить в ряд Фурье-Лежандра:
ф (х) = C0P0 (х) C1P1 (х) -}-••• + cmPm С*) H- • • •»
* Прием приближенного вычисления интегралов с помощью степенных рядов можно было бы применить сразу к интегралам (5) без их предварительного преобразования по формулам (7а, б). Однако это привело бы к более громоздким вычислениям.
