Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Дополнительные условия в уравнениях математической физики разбиваются на два типа:
іїаІаНашїШ
знанивбазервниц
Глава I, § I 191
а) начальные условия, характеризующие искомую величину в начальный момент времени;
б) граничные или краевые условия, характеризующие поведение искомой величины на границе рассматриваемой области (в любой момент времени t).
В частности, для того чтобы найти закон колебания струны, можно задать следующие краевые и начальные условия:
1. Если струна имеет конечную длину / (например, она расположена на отрезке [0; /1 оси Ох) и закреплена на концах, то граничные условия таковы:
и (0, 0=0; и (/, t) = 0
(в любой момент t).
Однако заданием только этих граничных условий закон колебания не определяется однозначно. Он будет зависеть еще и от начальной формы струны, и от начальной скорости струны в каждой точке. Итак, кроме граничных, должны быть заданы следующие начальные условия:
и(х, t) !/«о = <р(*); Ut (х, 0 |/=о = Ф(*), или, в более короткой записи,
и (х, 0) = 9 (*), Ut (х, 0) = ф (*).
Здесь <р (лг) и ф (х) — известные, заранее заданные функции: первая из них в качестве графика имеет форму струны в начальный момент, вторая указывает, какова в начальный момент скорость каждой точки струны.
Из физических соображений ясно, что, придав некоторое начальное положение и некоторую начальную скорость каждой точке струны, а затем отпустив струну, мы вызовем вполне определенное движение точек струны; следовательно, задание граничных и начальных условий однозначно определяет некоторый закон колебания струны.
Задача заключается в том, чтобы найти этот закон (это будет сделано в главе 2, § 1 и 4) и чтобы строго доказать его единственность— при заданных граничных и начальных условиях (это будет сделано в главе 2, § 3). Кроме того, следовало бы доказать устойчивость этого решения, но мы этого делать не будем, так как само определение устойчивости дано нами не вполне точно; в этом определении остается неясным, какой точ-
192 Часть III
ный смысл надо придать выражениям: «незначительное изменение начальных условий», «незначительное изменение решения» и т. д. Математически строго доказать какое-либо утверждение можно пытаться только тогда, когда это утверждение точно сформулировано. Точная же формулировка этих понятий увела бы нас слишком далеко. Поэтому ограничимся приведенным выше полуинтуитивным и неточным определением устойчивости, и попросим читателя принять на веру, что все граничные и начальные условия, которые будут в дальнейшем задаваться, обеспечивают устойчивость решения.
2. Пусть конечная струна расположена на отрезке (0; /). Если концы струны (или один из них) не закреплены в точках х = 0 и X = I, а движутся по некоторому заданному закону*, то мы получим граничные условия другого вида, отличные от рассмотренных выше. Так, например, если левый конец (х = 0) движется по закону и(0, t) = <x(t), а правый конец—по закону и (Ut)= = р (/), где a, (t) и р (/) — заданные функции от t (в частном случае постоянные), то эти условия, наложенные на концы струны, являются более общими, чем приведенные в предыдущем пункте; они уже не являются однородными (если два решения удовлетворяют этим новым граничным условиям, то сумма этих решений не обязана им удовлетворять). Решение уравнения колебания струны при неоднородных граничных условиях будет дано в главе 2, § 5.
3. Граничные условия на концах струны могут быть и другой природы. Можно наложить определенные требования не на ординату и того или иного конца струны, а на угловой коэффициент струны в точке х = 0 или в точке х=1.
Если в левом конце струны касательная все время остается горизонтальной (т. е. Ux (0, t) = 0) или в правом конце касательная всегда горизонтальна (т. е. ux (I, t) = 0), то граничные условия являются однородными (в соответствующем конце струны).
Если же Ux (0, t) = a(t) или ux(U t) = \i(t) (где a(t) или P (t) — заданная функция от t, отличная от тождественного нуля), то эти граничные условия являются неоднородными.
4. Если струна является бесконечной (т. е. оба ее конца столь далеки от интересующего нас участка струны, что практически струну можно считать бесконечной), то говорить о граничных условиях не имеет смысла: бесконечная струна не имеет
* Напомним, что поскольку мы рассматриваем только поперечные колебания струны, то и концы струны должны двигаться только по направлению, перпендикулярному к оси абсцисс (т. е. абсциссы концов должны оставаться постоянными).
шШШашф.
Глава 1, § 2
193
границ. Однако по-прежнему должны быть даны начальные условия:
где <p(x) и функции, заданные для всех значений х.
Решение уравнения колебания бесконечной струны будет дано в главе 5, § 3.
§ 2. Уравнение колебания мембраны
Мембраной называют тонкую плоскую пластинку (для определенности, расположим ее на плоскости Оху). Будем считать ее однородной (поверхностная плотность равна Г), упругой, туго натянутой. Как и в случае струны, мы будем рассматривать только малые колебания мембраны; чтобы уточнить это требование, условимся считать тангенс двугранного угла, образованного касательной плоскостью к мембране и плоскостью Oxy (в любой точке и в любой момент времени), столь малым, что квадратом этого тангенса можно пренебречь, когда он стоит рядом с единицей в качестве слагаемого.
