Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
ь
J Ity (х)]* у (х) dx = 0.
іїаїаИаШіШ
знбниеЄезграниц
§9 157
А если интеграл от неотрицательной функции равен нулю, то сама эта функция тождественно равна нулю*. Значит [ф (х)]а у (х)=0, откуда ф (х) s 0. Итак, не существует отличной от нуля функции класса С, ортогональной одновременно ко всем функциям Фі (*)» 9» С*)» • • • * следовательно, система (х), % 92 (х),... полная.
Из доказанной теоремы вытекает, в частности, следующее свойство замкнутых систем:
Если из замкнутой ортогональной системы исключить хотя бы одну функцию, то оставшаяся система уже незамкнута.
В заключение параграфа остановимся еще на одном свойстве рядов Фурье — так называемом экстремальном свойстве частных сумм ряда Фурье.
Пусть ф (х) — какая-либо функция из класса С, а 9,, 92....—
данная ортогональная (с весом 7) система. Зададим число п и
постараемся подобрать коэффициенты O1, а2.........а„ так, чтобы
линейная комбинация из п первых функций нашей ортогональной системы
Ln = Ctl 9i (Jf) + ... + 9„ (х)
по возможности меньше отличалась от функции ф(х). Это надо
понимать так, что квадратичное отклонение (ф, Ln) должно быть минимальным по сравнению с квадратичным отклонением функции Ф ОТ любой другой линейной комбинации Pi Cp1 (х) + ... +
+ МЛ*) (при том же nY
Разыскание коэффициентов Ci1, а2,..., а„, удовлетворяющих условию минимальности отклонения (ф, L„), проводится примерно тем же методом, что и вывод формулы (8).
* Докажем это утверждение.
Если функция f (х) > 0 непрерывна, то оно почти очевидно; в самом деле, если бы нашлась хотя бы одна точка X0, в которой f (х) Ф 0 (например,
f (х9) — т >0), то, в силу непрерывности, неравенство f (х) > имело бы
место в некоторой окрестности этой точки (например, на интервале (а; ?)).
ft в р ft р
Ho тогда было бы J f (х) dx = J / (х) dx+ J / (*) dx -f j / (х) dx > J f (х) dx >
а 'а 'а І а
b
> -Tf (р — а) > 0, что противоречит тому, что J f (х) dx — 0.
4 а
Если же функция f(x) является какой-либо функцией из С' (не обязательно непрерывной), то точно таким же путем доказывается, что в точках непрерывности этой функции она должна равняться нулю. В точках же разрыва функция f(x) может отличаться от нуля, но таких точек лишь конечное число. А функцию, отличную от нуля лишь в конечном числе точек, мы считаем тождественно равной нулю (см. стр. 155).
158
Часть 11
Пусть O1, а2,..., ал — произвольные числа. Тогда
[МФ. ?.)]¦=![Ф—2“*^»I tdjc =
а А—1 J
Ь п Ь п Ь
= J ф8 7 dx — 2 На* J ф <pk «у dx + EotJ j<pj т <f*.
Азші a Aal a
В этом можно убедиться, раскрывая скобки под знаком интег-
ь
рала и учитывая, что jfy fy ^dx = O при іф].
а
Ь
J Ф <Ра Tf dx
Принимая во внимание, что g--------=Cft (где сЛ—коэф-
j‘?A Idx а
фициент Фурье) и что, следовательно,
ъ ъ
5 Ф ft TI dx = Ci JfJ tdx,
a a
получим
b n b n b
[Мф. Ol8 = J Ф* I dx — 2 X O4C4Jf* K d*+ Ea*Jf4 Ydx
a Assl a A=I a
n b
Прибавим и вычтем из правой части равенства YiC2lt J ^dx;
AsssI а
тогда, после очевидных преобразований, будем иметь:
b п b п b
[МФ.^л)]2= J Ф* T dx + H(ak — ck)*§<p2k Y dx— Trf*-
a A=I a A*»l a
В выражении, стоящем в правой части этого равенства, от
п b
чисел «і, «*.•••» ®я зависит только S (aft — cft)* J 9* 7 dx. Эта сум-
A=I а
ма достигает наименьшего значения тогда и только тогда, когда Ct1 = C1, а, = с2,..., ая = ся. Итак, минимальное значение отклонения 8т (ф, Ln) будет достигаться тогда, когда Ln является п-ой частной суммой ряда Фурье. Следовательно, каковы бы ни
159
были коэффициенты Oi1, а2,..., а„ в линейной комбин ации Ln = = ві 9i + ... + «л9л» всегда имеет место неравенство:
Мф. 5„)<8,(ф, Ln), (U)
где Sn = C1 Ip1 ... + сп <рп — Ti-ая частная сумма ряда Фурье. При этом, если хотя бы один из Otft отличен от соответствующего коэффициента Фурье, то неравенство (14) превращается в строгое неравенство:
«т(ф. SnXM*. ?«).
§ 10. Тригонометрические ряды Фурье
Пусть нам дана какая-либо из следующих трех ортогональных (с весом 7=1) систем функций:
пх . 2пх ¦ knx /lv
sin-j-; sin —j-\ • • • ’» sin -j-;... (I)
на интервале (0, I) (система синусов)-,
і яд: 2пх knx /Г|ч
I; cos—J—; cos—j—;...; cos—j—;... (2)
на интервале (0; I) (система косинусов);
, пх 2пх knx
I; cos —j—; cos —j—;...; cos —^—;....
nx .2 nx .knx /оч
sin —-—; sin —j-\...; sin —j—;... (3)
на интервале (—I, I) (общая тригонометрическая система).
Ортогональные системы (1), (2), (3) называются тригонометрическими системами функций, а ряд Фурье по любой из этих систем — тригонометрическим рядом Фурье.
Каждая из этих систем замкнута в классе С' (на соответствующем интервале). Это будет доказано в § 13. Заметим, попутно, что замкнутость первых двух систем вытекает также из общей теоремы о замкнутости системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (известно, что система синусов является системой собственных функций краевой задачи у" -J- Xy =0, У (0) = у (I) = 0, а система косинусов — краевой задачи у" -f Iy =0, у' (0) = y' (I) = 0). Замкнутость же третьей из рассмат-
