Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
и (xt у, zt t)HaS = f(x, у, z, /),
где f(x, у, Zt t) — заданная функция, определенная во всех точках на поверхности S и для всех моментов времени t.
Можно доказать, что существует, и притом единственное, решение уравнения (7) или (7'), удовлетворяющее этим начальным и граничным условиям.
Если распределение температуры внутри V стационарно, то говорить о начальных условиях не имеет смысла: в начальный и во все последующие моменты времени распределение температуры одно и то же; оно не может быть произвольно задано — оно должно быть найдено. Что же касается граничных условий, то они задаются так же, как и в случае нестационарной задачи (только распределение температуры на границе, в данном случае, не может зависеть от t):
и(х, У, 2) Ilia s = f(x, у, z),
где f(x, у, z) — функция, заданная на S.
Задача разыскания гармонической внутри V функции и (х, у, z), принимающей на границе области заданные значения, называется задачей Дирихле. К задаче Дирихле сводится разыскание закона стационарного распределения температуры.
Эта задача нами будет решена в том частном случае, когда область V является шаром (глава 2, § 15); в случае же произ-
* В дальнейшем (в этом и следующем параграфах) мы будем предполагать, не оговаривая этого особо, что все заданные функции удовлетворяют следующим условиям: а) они ограничены в своей области задания; б) они не-прерывны или кусочно-непрерывны в этой области; последнее означает, что область задания можно разбить на конечное число областей, внутри каждой из которых данная функция непрерывна.
Г лава I, § З
211
вольной области V мы ограничимся тем, что выясним, к какой задаче сводится наша проблема (см. главу 4, § 2).
Там же (в четвертой главе) будет доказана единственность решения задачи Дирихле.
2. Плоская (двумерная) задача теплопроводности. Пусть областью V является бесконечный цилиндр (рис. 67) с образующими, параллельными оси Oz. Если при этом граничные и начальные условия не зависят от 2, то, очевидно, и решение также не зависит от z. В этом случае уравнение (7') приведется к виду
ди j /д%и . д2и\
M = а (лг> + Э?)'
а начальное и граничное условия — к виду:
м (х, у, І) |/га 0 = F (х, у),
“(*> у> OLs = /(*. у* 0-
Название «плоская задача» объясняется тем, что в сечении о тела V плоскостью Oxy будет такая же картина распределения температуры, как и в любом параллельном сечении; поэтому для того чтобы знать распределение температуры в Vt достаточно знать распределение температуры в плоской области о.
Если распределение температуры внутри цилиндра V стационарно, то искомая функция и зависит только от двух переменных хну. Она удовлетворяет уравнению
5- + 1^ = 0 W
и граничному условию
“(*• У) L s = /(*. У)•
Задача решения уравнения (9) при граничном условии, не зависящем от Zt называется плоской задачей Дирихле*.
К рассмотренным в этом пункте математическим задачам приводит также следующая физическая задача.
Пусть область V представляет собой тонкую материальную пластинку о, лежащую на плоскости Oxy и изолированную (в тепло-
* С плоской задачей Дирихле читатель уже встречался при рассмотрении стационарного уравнения мембраны (см. стр. 202—203).
T
212
Часть III
вом отношении) сверху и снизу от окружающей среды: сообщение с внешней средой производится только через контур пластинки. Тогда искомая функция — распределение температуры внутри пластинки — зависит только от х, у, /; уравнение, которому удовлетворяет эта функция, таково:
а*
dt ~ а \ дх* ду*/’
а начальные и граничные условия имеют вид:
и (х, у, t) \t„0 = F (х, у)', и (х, у, t) Iна х = / (х, у, t),
где функция F (х, у) дает распределение температуры внутри пластинки в начальный момент, a f(x, у, t) дает распределение температуры на контуре X в любой момент t(t^ 0).
Если же распределение температуры в области стационарно, то мы снова возвращаемся к плоской задаче Дирихле: найти реше-
ние уравнения -f- = О при заданных значениях функции
и (де, у) на контуре X области о:
“(*• y)L\ = f(x> у)•
Впоследствии мы решим плоскую задачу Дирихле для того случая, когда о является кругом (глава 2, § 9).
3. Линейная (одномерная) задача теплопроводности. Пусть тело V есть часть пространства, ограниченная двумя параллельными плоскостями (для определенности будем считать их перпендикулярными оси Ox и пересекающими эту ось в точках с абсциссами а и р). Если начальные и граничные условия не зависят от у и г, то, очевидно, и решение уравнения не зависит от у и г. Поэтому искомая функция и(х, t) удовлетворяет уравнению
ди 2 д*и dt ~а дхзг
которое можно получить из уравнения (7'), если учесть, что в данном случае = Oh == 0. Начальное и граничное условия запишутся так:
«(*> 0 t-o = i7Wl и (а, /) = А (/); иф, 0 = /г(0.
где F (х) — заданное начальное распределение температуры, a Z1 (t) и /2(/)— температуры, поддерживаемые на боковых стенках области.
Глава I, § З
213
Если распределение стационарно, то искомая функция зависит уже только от одного переменного х; она удовлетворяет уравнению
