Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
OO
и (х, 0) = ^ Ak sin . ft ¦¦ 1
С другой стороны, согласно первому из начальных условий,
и (х, 0) = ср (*).
Поэтому для всех X из (0; I) должно выполняться равенство
?(*)=- 1! Л Si»-^Ti-
Пусть <р (лг) — кусочно-монотонная ограниченная функция; тогда это равенство будет выполняться, если в качестве Ak принять коэффициенты Фурье (при разложении <р(х) в ряд Фурье HO синусам):
2 (• k я х
К = T \ ?(*) sin / dx. (9)
Аналогично найдутся и Bk: продифференцируем почленно равенство (8) по t (при этом допускается, что такое дифференцирование ряда возможно):
/ л ban . kant . D kaп kant\ . knJ
и, (х, О - S (- ¦At -г sm —Г- + В* T- cos T-) sm “7
ft — I
и подставим сюда t — 0. Тогда
ш(х, 0) = SB* if
OO
ЛО 71 Л 71 X
SIIl —Г—
Л-1
С Другой стороны, согласно второму начальному условию,
t
и і (х, 0) == <]> (х).
Глава 2, § I
223
Поэтому
OO
, . ч Vd Лол . knx
Их) = і Bh -J- sin -J- .
A-I
Мы получили разложение ф(х) в ряд Фурье по синусам; следовательно, коэффициенты этого ряда равны коэффициентам Фурье:
і
о кап 2 (‘ . . . . knx ,
Bk-=TJ «К*) s,n — dx>
о
откуда
і
dx. (10)
О
Итак, коэффициенты Ak и Bk подобраны с таким расчетом, чтобы сумма (8) удовлетворяла заданным начальным условиям. Подставляя Ak и Bk (из равенств (9) и (10)) в формулу (8), получим искомое решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным и граничным условиям.
Возникает вопрос: не существует ли другого решения этой задачи? Однозначно ли определяется закон колебания струны заданием дифференциального уравнения и начальных и граничных условий? Положительный ответ на это будет дан в § 3, где доказывается единственность найденного решения.
Принимая пока без доказательства, что других решений задача не имеет, исследуем полученное решение.
Формула (8) дает нам решение, записанное в форме бесконечного ряда. Его первый член
//,(*, О = ( A cos + B1Sin-^-J Sin (S1)
называется основним тоном колебания, определяемого формулой (8).
Если бы все остальные члены ряда отсутствовали и колебание происходило бы по закону (8,), то струна в любой момент времени имела бы форму синусоиды Ki sin где буквой
К\ обозначено выражение A1 cos ~ -J- B1Sin^-; величина коэффициента К\ меняется со временем, и его максимальное значе-
224
Часть III
ние равно V A2 + B2 (на рис. 69 изображены крайние и несколько промежуточных положений струны, колеблющейся по закону
(в^.Число A2 + В? называется амплитудой основного тона колебания. Если струна колеблется по закону, заданному формулой (8і), то каждая точка струны колеблется с частотой /, —
= — колебаний в единицу времени; действительно, если зафиксировать Xt то и(х, t) представляет собой периодическую
Рис. 69
• . 2« 2/ функцию от t с периодом — = —
~Т
следовательно, в единицу
времени каждая точка совершает = колебаний. Наряду с
частотой, нередко рассматривается так называемая круговая час-moma W1, которая равна произведению частоты на число 2«;
в данном случае W1 = 2nfx = ~ .
Рассмотрим второй член ряда (8) (второй член ряда (8) называется первым обертоном колебания):
/ (л 2ате/ . г, . 2ant \ . 2пх
*)= M8COS j---------|-ZJ8Sin—j—Jsin-— .
(Si)
в
Если бы колебание происходило по закону (8а), то струна любой момент времени t имела бы форму синусоиды
/с*(0 sin где K2{t) =A2 cos -f B2 sin—(рис. 70). На участке
(0; /) помещались бы две полуволны этой синусоиды; точка
х — , остающаяся в покое в процессе колебания, называется
IMalaUausjWl
знание без «0SWU4 H
Глава 2, § / 225
узлом; максимальное значение коэффициента /С8(0 равно Y А\+Щ\ это — амплитуда первого обертона. Частота колебания первого
обертона в каждой точке равна /а — ^xa ~~ / *
Третий член ряда (8)
2 а
27
, круговая частота =
/ ,ч (м 3ant , о . Zant \ . Зпх
U3(x, t) = M8COS-1—\-B9Sin-J-JSm—j-
(83)
называется вторым обертоном. Амплитуда второго обертона
равна ]/” А\ -f В|, частота f За
/з = 97-, круговая частота
(о.
21
Зпа
( ; струна в любой момент принимает форму синусоиды, полуволны которой имеют
длину ~; узлов уже два,
они помещаются в точках
I 21
х-^ и а; =-3— (рис. 71).
Вообще ?-ый член ряда (8)
і*, і\ (л « bant . г, . kant\ . knx Uk(X, t) = MfcCOS —---J- Z^sin—j— Isin-j—
(8*)
называется k—1-ым обертоном; амплитуда k—1-го обертона равна YAl + Щ, частота fk = J
ka
kna
T
*k і -.«v.wit./ft = gj-, круговая частота o>ft
Формула (8) дает не только закон колебания струны — она имеете с тем позволяет разложить сложное колебание на ряд простейших — синусоидальных колебаний (они называются сто-и ними волнами). В синусоидальном колебании амплитуда характеризует силу, громкость звука, а частота колебания—высоту япука. Если амплитуды стоячих волн, т. е. числа У A2k -f- Bih, убывают с ростом номера k, то основной тон звучит громче всех обертонов и ухо легко улавливает его и выделяет среди остальных звуков. Обертоны в этом случае будут звучать значительно слабее; они придают колорит, «окраску» звуку, издаваемому струной.
