Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть величина этой проекции задана в каждой точке поверхности S (здесь S — граница области V), например
проекция V на п = f(x, у, г), где f(x,y,z), определена всюду на S. Тогда это условие можно сформулировать так:
проекция grad и на п = f(x,y,z), или *
-Й- =f(x,y,2). (3)
на S
•Напомним, что проекция градиента на какое-либо направление равна производной в этом направлении.
216
Часть III
Итак, окончательно задача может быть сформулирована следующим образом.
Найти функцию и (х, у, г), удовлетворяющую всюду в области V уравнению
да и да и , дя и ~
д хй дуя Ozi
и на границе области условию -?- = /(*, у, т) .
дп
Задача отыскания функции, гармонической в области V, если на границе этой области задана нормальная производная искомой функции, называется задачей Неймана.
В отличие от рассмотренных ранее задач, задача Неймана не всегда имеет решение.
Для того чтобы в этом убедиться, заметим следующее: так как, по условию, жидкость несжимаема, то поток поля скоростей через лю';ую замкнутую поверхность равен нулю. В частности, равен нулю и поток через поверхность S, ограничивающую область V:
jj* (vn) dS = 0. s
Ho, по условию,
(уп) = проекции V на п = / (.х, у, г).
Следовательно,
Jj f(x,y,z)dS = 0. (4)
Таким образом, ставить задачу Неймана имеет смысл только тогда, когда заданная на границе области функция f(x,y,z)
удовлетворяет равенству (4) ^ иначе говоря, когда Jj dS = .
Это условие является необходимым для разрешимости задачи Неймана. Вместе с тем оно и достаточно: можно доказать, что если оно выполнено (и если поверхность S является гладкой или кусочно-гладкой), то задача Неймана имеет решение.
Решение этой задачи единственно с точностью до постоянного слагаемого; это значит, что различные решения отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Заметим, однако, что, хотя потенциал и {х, y,z) определяется только с точностью до постоянного слагаемого, скорость v определяется совершенно однозначно: ведь две скалярные функции, отличающиеся постоянным слагаемым, имеют один и тот же градиент.
Глава I, § 4
217
Плоская задача гидродинамики. Если областью V является бесконечный цилиндр с образующими, параллельными оси Oz, а граничное условие (значение нормальной составляющей скорости на границе области) не зависит от г и, наконец, если известно, что вектор скорости в каждой точке области V параллелен плоскости Оху, то очевидно, что распределение скорости внутри *
V не зависит от г: v
и граничному условию
Так как поле и{х, у) имеет совершенно одинаковую картину во всех сечениях цилиндра, параллельных плоскости Оху, то в этом случае можно ограничиться решением задачи на плоскости Оху: найти в плоской области а (где о — сечение области V плоскостью Oxy) функцию и (х, у), удовлетворяющую внутри области о урав-
да и , дя и Л л
нению —I—= 0, и на контуре области — условию
ди ~
-jr- — f(x, у), где п — внешняя нормаль к контуру области о (рис. 68).
Эта задача называется плоской задачей Неймана.
Так же, как и в случае пространственней задачи Неймана, функция / (х, у) не может быть задана совершенно произвольно: она должна удовлетворять условию
s
V = v(x, у).
Ho тогда и потенциал скорости зависит только от х и у:
и ~ и (х, у).
Он удовлетворяет уравнению
д*и д2и _п ~дх*~ + ду2
(5)
/
где I — контур области о. Здесь под интегралом по дуге I понимается предел интегральной суммы
218
Часть III
Yf(xk, yk) A lk, к
где A 1к—-длины элементарных дуг, на которые разбита кривая /, а (хк, ук) — произвольная точка на соответствующей элементарной дуге; предел берется при max Mk-+ О*.
При выполнении условия (5) (и, конечно, при условии гладкости или кусочной гладкости контура /) плоская задача Неймана всегда имеет решение, причем единственное с точностью до постоянного слагаемого.
ГЛАВА 2
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ФУРЬЕ (метод разделения переменных)
В предыдущей главе мы вывели дифференциальные уравнения для решения некоторых физических задач. В настоящей главе мы изложим метод, с помощью которого можно будет решить эти уравнения (т. е. для каждого уравнения найти то решение, которое удовлетворяет заданным начальным и граничным условиям). Существует несколько различных методов решения уравнений с частными производными; с важнейшим из них — методом Фурье — мы познакомимся в этой главе (а также — с несколько иной точки зрения — в главе 3). В главах 4 и 5 будут рассмотрены еще два метода решения уравнений в частных производных (метод функции Грина и метод характеристик).
•He следует смешивать криволинейный интеграл j*f(x,y)dl —
і
= Iim / (я* уд) Д/* от скалярной функции f(x, у) с криволинейным иитег-к
ралом от векторной функции j Adl, изученным в 1-й части. Это — совер-
I
шенно различные интегралы, хотя и родственные друг другу: легко видеть, что интеграл от векторной функции может быть приведен к криволинейному
интегралу от скалярной функции: I Adl = I I Л I cos ydl, где у —угол меж-