Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 64

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 110 >> Следующая


Пусть величина этой проекции задана в каждой точке поверхности S (здесь S — граница области V), например

проекция V на п = f(x, у, г), где f(x,y,z), определена всюду на S. Тогда это условие можно сформулировать так:

проекция grad и на п = f(x,y,z), или *

-Й- =f(x,y,2). (3)

на S

•Напомним, что проекция градиента на какое-либо направление равна производной в этом направлении.
216

Часть III

Итак, окончательно задача может быть сформулирована следующим образом.

Найти функцию и (х, у, г), удовлетворяющую всюду в области V уравнению

да и да и , дя и ~

д хй дуя Ozi

и на границе области условию -?- = /(*, у, т) .

дп

Задача отыскания функции, гармонической в области V, если на границе этой области задана нормальная производная искомой функции, называется задачей Неймана.

В отличие от рассмотренных ранее задач, задача Неймана не всегда имеет решение.

Для того чтобы в этом убедиться, заметим следующее: так как, по условию, жидкость несжимаема, то поток поля скоростей через лю';ую замкнутую поверхность равен нулю. В частности, равен нулю и поток через поверхность S, ограничивающую область V:

jj* (vn) dS = 0. s

Ho, по условию,

(уп) = проекции V на п = / (.х, у, г).

Следовательно,

Jj f(x,y,z)dS = 0. (4)

Таким образом, ставить задачу Неймана имеет смысл только тогда, когда заданная на границе области функция f(x,y,z)

удовлетворяет равенству (4) ^ иначе говоря, когда Jj dS = .

Это условие является необходимым для разрешимости задачи Неймана. Вместе с тем оно и достаточно: можно доказать, что если оно выполнено (и если поверхность S является гладкой или кусочно-гладкой), то задача Неймана имеет решение.

Решение этой задачи единственно с точностью до постоянного слагаемого; это значит, что различные решения отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Заметим, однако, что, хотя потенциал и {х, y,z) определяется только с точностью до постоянного слагаемого, скорость v определяется совершенно однозначно: ведь две скалярные функции, отличающиеся постоянным слагаемым, имеют один и тот же градиент.
Глава I, § 4

217

Плоская задача гидродинамики. Если областью V является бесконечный цилиндр с образующими, параллельными оси Oz, а граничное условие (значение нормальной составляющей скорости на границе области) не зависит от г и, наконец, если известно, что вектор скорости в каждой точке области V параллелен плоскости Оху, то очевидно, что распределение скорости внутри *

V не зависит от г: v

и граничному условию

Так как поле и{х, у) имеет совершенно одинаковую картину во всех сечениях цилиндра, параллельных плоскости Оху, то в этом случае можно ограничиться решением задачи на плоскости Оху: найти в плоской области а (где о — сечение области V плоскостью Oxy) функцию и (х, у), удовлетворяющую внутри области о урав-

да и , дя и Л л

нению —I—= 0, и на контуре области — условию

ди ~

-jr- — f(x, у), где п — внешняя нормаль к контуру области о (рис. 68).

Эта задача называется плоской задачей Неймана.

Так же, как и в случае пространственней задачи Неймана, функция / (х, у) не может быть задана совершенно произвольно: она должна удовлетворять условию

s

V = v(x, у).

Ho тогда и потенциал скорости зависит только от х и у:

и ~ и (х, у).

Он удовлетворяет уравнению

д*и д2и _п ~дх*~ + ду2

(5)

/

где I — контур области о. Здесь под интегралом по дуге I понимается предел интегральной суммы
218

Часть III

Yf(xk, yk) A lk, к

где A 1к—-длины элементарных дуг, на которые разбита кривая /, а (хк, ук) — произвольная точка на соответствующей элементарной дуге; предел берется при max Mk-+ О*.

При выполнении условия (5) (и, конечно, при условии гладкости или кусочной гладкости контура /) плоская задача Неймана всегда имеет решение, причем единственное с точностью до постоянного слагаемого.

ГЛАВА 2

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ФУРЬЕ (метод разделения переменных)

В предыдущей главе мы вывели дифференциальные уравнения для решения некоторых физических задач. В настоящей главе мы изложим метод, с помощью которого можно будет решить эти уравнения (т. е. для каждого уравнения найти то решение, которое удовлетворяет заданным начальным и граничным условиям). Существует несколько различных методов решения уравнений с частными производными; с важнейшим из них — методом Фурье — мы познакомимся в этой главе (а также — с несколько иной точки зрения — в главе 3). В главах 4 и 5 будут рассмотрены еще два метода решения уравнений в частных производных (метод функции Грина и метод характеристик).

•He следует смешивать криволинейный интеграл j*f(x,y)dl —

і

= Iim / (я* уд) Д/* от скалярной функции f(x, у) с криволинейным иитег-к

ралом от векторной функции j Adl, изученным в 1-й части. Это — совер-

I

шенно различные интегралы, хотя и родственные друг другу: легко видеть, что интеграл от векторной функции может быть приведен к криволинейному

интегралу от скалярной функции: I Adl = I I Л I cos ydl, где у —угол меж-
Предыдущая << 1 .. 58 59 60 61 62 63 < 64 > 65 66 67 68 69 70 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed