Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример. Найти закон свободного колебания струны длиной
I м, закрепленной в концах, если известно, что ее натяжение
8 Ю. с. Очан
226
Часть III
м
сек
В
T и линейная плотность Г таковы, что a = = 100
начальный момент струна оттянута в середине на высоту 0,01 Mt а затем отпущена без начальной скорости.
В данном случае дифференциальное уравнение колебания струны имеет вид:
*“«104.5*
а/» ш дх* •
Граничные условия (если струну расположить на оси абсцисс, между точками х = 0 и х ~ 1) запишутся следующим образом:
и(0, /)==0, и( 1, /) = 0,
а начальные условия:
и(х, t) |/~о =
X
50
при 0
0,5,
—— + 0,02 при0,5<*<1,
u't(x> Oko=0-
(9)
Первое из этих начальных условий мы получим, если запишем уравнение ломаной (см. рис. 72), вдоль которой расположилась струна в начальный момент; второе начальное условие означает, что начальная скорость во всех точках равна нулю.
В соответствии с намеченной схемой ищем сначала решения в виде
и(х, t) = X(X)-Tit),
удовлетворяющие данным граничным условиям. Это приводит к уравнениям:*
___________ X"+ |х* = 0, (10)
* Для сокращения записи мы опускаем обозначения независимых перемен** ных у функций Х(х), T{t). Штрихи около функции обозначают дифференци-
рование по той переменной, от которой эта функция зависит (например* X" означает вторую производную от Х(х) по х).
RalaHamMl
інаткбезгранцц
глава Xt р і 227
T"+IOVT = 0, (11)
и граничным условиям X(O) = 0; X(I) = 0.
Решая уравнение (10) при заданных граничных условиях, получим:
JblnI
|л* = —, Xk(x) = sin k п X (k =1,2,...).
Подставляя найденные ц* в равенство (11) и решая полученные уравнения, найдем
Tk- /IftCos IOOfor/ + BftSin 100 for/.
Следовательно,
uk(x, t) = (/IftCOS I OOfot/ 4- B^sin 100 for/) sin knx.
Суммируя все uk(x, t), получим решение нашей задачи в виде суммы ряда:
и (х, t) = L(/lftCOs 100 for/ -f- Bk sin 100 for/) sin knx. (12)
к
Подставим t — 0 и учтем первое начальное условие:
ср(лг) = IUft sin knx. к
Здесь через у(х) обозначена функция (9). Разлагая ее в ряд Фурье по синусам, получим
1 0.5
Ak = J <р(х) sin knx dx — 2 J sin knxdx +
+ 2 j* ( f 0,02) sin knxdx = sin •
0.5
частности,
A — e.08 л ~ о* A — — * — A* ~ 0 A —
*4 — > 2 vt /*8 gn2 • /*5 25«* ' "*
Чтобы найти BA, продифференцируем (12) по t: и) (х, t) = S (—Ak' IOOforsin 100 for/ 4- Bk - IOOforcos IOOfor/)sin knx.
8*
228
Часть ill
Подставляя сюда / = O и учитывая второе начальное условие, получим
0 ~ ^lBk- IOO^nr«sin kitx. к
Числа Bft-IOOfor являются коэффициентами Фурье функции, тождественно равной нулю:
і
Bk- IOOkn = — j10-sin knxdx —0,
о
откуда следует, что все Bk равны нулю.
Итак, окончательно, искомым решением является сумма следующего ряда:
и (х, t) — cos ЮОтг/ • sin тел:-cos 3OOitt - sin Sitx +
+ cos 500іт/ • sin 5ти: —...
Функция U1 (х, t) -= cos ІООг/ sin Ttx является основным тоном
колебания; это — колебание с частотой Д — -?*- = 50 и с амплитудой ~ а— ~ 0,008 м. Первым обертоном будет функция
Ua (х, t) = ^^-cos300ir/sin37T**, имеющая в девять раз меньшую
амплитуду и втрое большую частоту колебаний. Еще меньшую амплитуду и еще большую частоту имеет второй обертон и т. д.
Если приближенно считать, что закон колебания струны дается основным тоном, то
и (х, t) ~ COS 1007t/sin TtX.
§ 2, Интегралы, зависящие от параметра, и их приложения
Настоящий параграф имеет вспомогательное значение: результаты этого параграфа будут использованы в § 3 при доказательстве единственности решения задачи о колебании струны, а также в других местах книги (в частности, в главе 3).
Пусть функция двух переменных f (*, /) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике а < д: < Ь\ а < / < р (рис. 73). Интеграл от этой функции по переменной х (при фик-
* Функция Ut (х, /) тождественно равна нулю, и поэтому мы ее не
принимаем во внимание.
Глава 2, $ 2
229
сированном t) в границах от а до b зависит, вообще говоря, от /; обозначим эту функцию от t через <р(/):
ъ
9(0 = J /(*> *)&с. (1)
а
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, называется интегралом, зависящим от параметра t. Естественно поставить такой вопрос: при каких условиях, наложенных на под интегральную функцию f(x, t), функция 9 (t) будет непрерывной, дифференцируемой и т. д.? Имеет место следующая теорема:
Теорема 1. Если функция f(x, t) непрерывна и ограничена вместе со своей производной по t и имеет ограниченную вторую производную по t в прямоугольнике а< х <Ь, а </ < р, то для всех t из интервала (а, (3) интеграл (J) представляет собой дифференцируемую функцию, причем
*'(0 = J/И** Odx. (2)
а
Здесь предполагается, что а и b — конечные числа.
Мы не будем доказывать эту теорему, так как она вытекает, как частный случай, из следующей, более общей теоремы.
Теорема 2. Если функция f (x, t) непрерывна и ограничена «месте со своей первой производной по t и имеет ограниченную шпорую производную по t в прямоугольнике а < л: < Ь, а < / < р, и если функция Ф(*) непрерывна и абсолютно интегрируема* на (а\ Ь), то интеграл
