Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, далее, что s* и'г Поэтому мы можем заменить LtU на u'tLt. Таким образом, равенство (2) можно переписать следующим образом:
где Mk — какая-либо точка внутри области Lvk.
Суммируя теперь все L q'k, получим общее количество тепла,
выделившегося из G за время Lt:
<?=Ед^=-«-г-л<-?(!г) M-itV к к
Сумма, стоящая в правой части этого равенства, является интегральной суммой. Переходя к пределу (при diam ДаА-*0)г получим
g =-C-T-At- JJJ %dV. (3)
о
Таково количество тепла, выделяющегося из тела G за время Lt ъ результате свободного теплообмена, в предположении, что внутри V нет дополнительных источников тепла. Если же такие источники существуют, то к выражению из формулы (3) следует добавить тепло, доставляемое этими источниками.
Рассмотрим количество тепла, возникающего благодаря этим источникам в малой области, окружающей точку (х, у, г) за время от момента t до момента t-\- Lt. Предел, к которому стремится отношение этого количества тепла к массе области Lm и к Lt, мри стягивании области к точке (х, у, z) и при Д t -*¦ 0 называется плотностью источников тепла в точке (х, у, г) в момент времени t и обозначается А(х, у, z, t). Если в некоторой точке в какой-то момент времени А > 0, то в этой точке имеется источник тепла; если же при некоторых х, у, z, t величина А отрицательна, то в этой точке в данный момент времени действует поглотитель тепла. Ясно, что количество тепла, которое выделяется из Lvk бла-
208
Часть III
годаря наличию источников тепла, равно A (xk, yk,zk,t)TLvkLt, а все количество тепла, выделяемого из G благодаря наличию
источников, равно Л А (.xk, yk, zk, /)ГД vkL t или в пределе (при
*
diam A Vk -> 0),
ГА А(х, у, zt t)dV.
о
Складывая это с тем количеством тепла, которое было найдено в формуле (3), получим окончательно
*—er^ JJJ-s?*'+™ JJJa*- (4)
о о
Формула (4) дает общее количество тепла, выделившегося из тела G за время А/. В силу закона сохранения энергии (в данном случае — тепловой энергии), оба способа подсчета количества тепла, выделившегося из G, должны дать один и тот же результат, так как все изменение количества тепла в G может произойти только за счет выделения тепла через поверхность S. Итак, мы можем приравнять общее количество тепла, выделившегося через поверхность 5 за время А / (см. фомулу (1)), к тому количеству тепла, которое найдено по формуле (4):
— 6A/JJJ /л^и-dV = — cTLt
+iMJJa**
о
сокращая на Af и перенося все члены в одну часть равенства, получим:
JJJi4-Zlhsu-erIr + ГЛ ]dt/ = °- (5)
G
Равенство (5) имеет место для любой области G, принадлежащей V. Следовательно, подинтегральная функция тождественно равна нулю (см. замечание к лемме 1 из предыдущего параграфа). Итак,
k, л\ц — cr-^ + IM(x, и, zt t) = 0. (6)
Это и есть искомое дифференциальное уравнение для определения функции U (X, t/, z, t). Здесь k, с, Г — известные величи-
Глава I, § З
209
ны, а А(х, у, г, t) — известная функция, дающая плотность распределения источников тепла и предполагаемая непрерывной.
Если А Ф 0, то уравнение называется уравнением несвободного теплообмена.
При А = 0 уравнение (6) становится однородным линейным уравнением. Это — уравнение свободного теплообмена. Его можно
записать следующим образом ^если обозначить Jjr = а*):
?=а*-/л±и, (T)
или
i“- = а‘ (— + 4’- + -) (T)
dt и \дх* ^ Ну* ^ dz* ) ' *
М%
Коэффициент а2 имеет размерность --------.
сек
Частным случаем рассматриваемой задачи является изучение стационарного распределения температуры внутри тела; вопрос ставится так: каково должно быть распределение температуры внутри тела, чтобы дальнейшего теплообмена не происходило? Очевидно, в этом случае и не зависит от t\ следовательно, и есть функция только координат точки. Уравнение стационарного распределения температуры получится из уравнения (7) или (7'),
если учесть, что в этом случае = 0; выпишем получившееся
уравнение:
= (8)
или
S-+w + -S-=0- <8'>
Итак, стационарное распределение температуры осуществляется с помощью гармонической функции и (л:, у, г) (напомним, что гармонической называется всякая функция с непрерывными вторыми производными, удовлетворяющая уравнению и = 0).
У читателя может возникнуть недоумение: разве может приостановиться свободный теплообмен внутри тела, различные точки которого имеют различную температуру (ведь гармоническая функция в общем случае непостоянна)? Да, может, если на границе области V поддерживать искусственно постоянную температуру (различную в различных точках границы). Ho это уже связано с вопросом о граничных и начальных условиях, к которому мы и переходим.
210
Часть III
Граничные и начальные условия. 1. Трехмерная задача тепло-1 проводности. Пусть V — заданное ограниченное тело и S — его граница. Для того чтобы найти закон распределения температуры внутри V, надо знать распределение температуры в начальный момент:
и (х, у, г, 0) = F (х, у, z),
где F (х, у, z) — заданная, определенная внутри V функция *. Кроме того, надо знать температуру окружающей среды. Эта температура не обязана быть одинаковой во всех точках границы S, она может меняться с течением времени, но она должна быть известной. Таким образом, кроме приведенного выше начального условия, должно быть задано граничное условие:
