Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 63

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 110 >> Следующая


д2и

дх2

и граничным условиям:

= 0

и (а) = А, и (P) = В,

где А и В — постоянные числа (температура, поддерживаемая на стенках). Эта задача (линейная задача Дирихле) очень легко решается: решением уравнения является функция и — C1X + C2, где C1 и C2 подбираются так, чтобы удовлетворялись данные граничные условия. Итак, решениями одномерной задачи Дирихле являются только линейные функции.

К тем же уравнениям, которые рассмотрены в этом пункте, приводит и другая физическая задача.

Пусть область V представляет собой тонкий однородный стерень; будем, для определенности, считать его расположенным на оси Ox между точками х — а и х = р. Пусть его размеры в направлении осей Oy и Oz столь малы, что ими можно пренебречь. Если стержень изолирован в тепловом отношении от окружающей среды всюду, кроме своих концов, то распределение температуры в нем удовлетворяет уравнению

ди о д2и

= а2

dt “ дх2 • а также начальному и граничным условиям:

t) \(.0 = F(X); и (a, t) = fL(t), и(Р, t) = /,(/),

где F(x) — начальное распределение температуры в стержне (на участке [а, Р)), a Z1 (t) и /2 (f) — температуры, поддерживаемые на концах стержня (температура может зависеть от времени t).

Задача о распределении тепла в стержне нами будет рассмотрена в § 6 главы 2 (для случая конечного стержня) и в § 2 главы 3 (для случая бесконечного стержня).

Если в стержне установилась стационарная температура, то ее распределение внутри стержня будет уже функцией только одного переменного; эта функция и (x)t удовлетворяет уравнению

= о

дх8

и граничным условиям:

и (a) = A; U(P) = B
{А — постоянная температура, поддерживаемая на левом конце стержня, В— на правом). Как мы видели выше, единственная функция, удовлетворяющая этому уравнению и данным граничным условиям, —линейная.

§ 4. Вывод основного уравнения гидродинамики

Рассмотрим некоторую область Vt заполненную движущейся однородной жидкостью, плотность которой в процессе движения остается неизменной (напомним, что такую жидкость называют несжимаемой: объем, занимаемый каким-либо количеством жидкости, не изменяется при перемещении этого количества жидкости). Если движение жидкости является стационарным (т. е. ее скорость v(x, у, г) зависит только от координат точки, но в каждой данной точке не меняется с течением времени), то, как мы видели (см. стр. 41), векторное поле является соленоидальным:

divt> = 0. (1)

Это уравнение называется уравнением движения несжимаемой жидкости. Оно еще не дает возможности определить скорость v: ведь для того, чтобы найти v, надо знать три составляющих вектора V, т. е. три скалярные функции, а уравнение для их определения у нас только одно. В гидродинамике выводятся из физических соображений еще несколько уравнений, и из этой системы уравнений находятся все составляющие вектора о. Мы не будем составлять этих уравнений; вместо этого наложим на движение жидкости некоторое дополнительное требование — и тогда, в этом частном случае, нам удастся обойтись одним уравнением (1).

Назовем стационарное движение жидкости потенциальным, если его скорость V образует потенциальное поле (т. е. rot v = 0). Конечно, не всякое движение жидкости является потенциальным; так, например, вращение жидкости вокруг неподвижной оси (с постоянной угловой скоростью) не является потенциальным: ротор скорости здесь не равен нулю. Мы же ограничимся изучением только потенциального движения жидкости*.

Если rot V = 0, то векторное поле имеет потенциал, т. е. существует такое скалярное поле и, что grad u — v. Очевидно, достаточно найти потенциал Ut чтобы знать векторное поле v.

* Движение реальной жидкости является потенциальным, если действие сил вязкости ничтожно мало по сравнению с действиями сил давления, и если в рассматриваемой области нет завихрений, обусловленных срывом частиц жидкости со стенок пограничного слоя или резкими колебаниями температуры.
Глава /,’ § 4

215

Для того чтобы составить дифференциальное уравнение для потенциала и, достаточно в уравнение (1) вместо v подставить grad и; тогда получим

div grad и = О,

или

/л\^и = 0. (2)

В декартовых координатах это уравнение выглядит так:

ZjL ZiL _1_ ZiL - о (2'>

дх» + ду* + с?га ~U*

Итак, нами выведено уравнение для потенциала и (х, у, z). Если потенциал будет найден, то скорость v определится из равенства

и — grad и.

Как мы видим, потенциал скорости в потенциальном стационарном движении жидкости является гармонической функцией.

Граничные условия. Так как, по условию, рассматриваемое движение жидкости стационарно, то говорить о начальных условиях не имеет смысла: в начальный и во все последующие моменты времени распределение скоростей одно и то же. Следовательно, может идти речь только о граничных условиях.

Совершенно ясно, что ставить здесь задачу Дирихле не имеет физического смысла: нам не могут быть известны значения потенциала скорости на границе области V.

Однако мы можем знать, чему равна сама скорость на границе области V или (что в данном случае важнее) чему равна проекция скорости V на внешнюю нормаль п к поверхности.
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed