Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
о
в предыдущем примере можно было обойтись без теорем об интегралах, зависящих от параметра, то здесь эти теоремы будут существенно использованы.
• Обозначение функции Erf происходит от английских слов error function (функция ошибок). Эта функция широко применяется в теории вероятностей; она дает интегральный закон распределения случайных ошибок измерения.
Глава 2, § 2
235
Будем рассматривать наш интеграл, как функцию от р (считая а фиксированным положительным числом):
OO
9 (P) = J ё~лх% cos $x dx. о
Под интегралом стоит произведение двух функций: cosp*—
функция от двух переменных P и X и е~лх* — функция ОТ Xt абсолютно интегрируемая на участке (0; + оо). Однако непосредственно к этому интегралу применить теорему 2 нельзя, так как вторая производная по р от cospjc (она равна —.K2Cosp*) неогра-ничена на участке (0; + оо). Поэтому разобьем данный интеграл на сумму двух интегралов, а затем преобразуем второй из этих интегралов:
1 +CO
9 (P) = J е~ах’ cos р* dx + J е~*х* cos р* dx = о і
= J ё~ах' cos рд: dx + J х2ё~лх •
К первому интегралу непосредственно применима теорема 2, так как -i-cosp* = —**cosp.* ограничена на участке 0<*<
OtJ
< 1 (при любых р). Ко второму интегралу эта теорема также применима: функция х2е~ах* абсолютно интегрируема на
участке (1; +оо) (в чем легко убедиться, дважды проинтегрировав
OO
по частям интеграл J x2e~ax'dx\ он сводится к интегралу
OO
J e~ax*dx, сходимость которого доказана). Второй же сомножи-
1
, cos Вдс
тель под знаком интеграла — функция ---------------непрерывен всюду
на (1; +оо) и имеет ограниченную вторую производную по р. Итак,
I OO
?' ?) = J ё~*х' (— JC sin ?х) dx + j *»<.—*¦ j dx =
О I
оо
= J —e~ax* x sin p* dx.
O
236
Часть 111
К последнему интегралу применим интегрирование по частям,
CO
приняв и =» sin р*, dv = — Je ax*xdx. Тогда,
о
OO
(P) = J —е ах* х sin р* dx =
OO OO
е~ах* I Г е~ах*
= sin P-v—^— j — J —2^—Pcos p*d*
о о
OO
= —Ir J cos Vxdx = —Ir * №)•
Решая полученное дифференциальное уравнение ? (P)= — -?- 9 (P). найдем 9 (P):
Т(Г = -^: Int(P) =--?- +In С;
9(р) = Св 4а.
Постоянная С не зависит от Р; мы ее найдем, положив P=Oi
9 (O) = С • в0 =» С.
С другой стороны,
9(0) =* J e-ax'-cosO-dx = jе-**’d* ^4-/^-
O о
(см. формулу (6а)).
Следовательно, C = -^- /-г «
Глава 2, § З
237
Итак,
OO
4а
(7)
о
где а > 0, р — любое число.
§ 3, Доказательство единственности решения задачи о колебании струны
Теорема. Если уравнение
то такое решение будет только одно.
Замечание. Мы проведем доказательство только для того случая, когда решение и (х, t) имеет ограниченные частные производные до третьего порядка включительно на участке 0<х</, О </</0 (/0 — какой-либо фиксированный момент времени).
Точнее говоря, мы докажем, что среди функций и(х, t), имеющих ограниченные производные до третьего порядка включительно, не найдется двух различных, которые одновременно удовлетворяют уравнению (1) и условиям (2), (3). Следует заметить, что теорема единственности имеет место и для более широкого класса функций (даже для таких, для которых и'х(х, t) не существует в отдельных точках), однако доказательства для более общего случая мы проводить не будем.
Доказательство. Допустим, что наша задача имеет два решения: их (х, t) и U2 (х, /); докажем, что они тождественно равны друг другу.
Рассмотрим разность и(х, t) = ul(x, t) — u2(x,ty, так как U1 и и2 удовлетворяют уравнению (1), то справедливы тождества:
О)
имеет решение, удовлетворяющее начальным условиям:
и (х, 0) = 9 (лг); ut (xf О)= ф (*),
(2)
и граничным условиям:
и (0, /) =E 0; и (/, t) = О,
(3)
238
Часть III
Почленно вычитая их друг из друга, получим:
(х, t) U2 * Ol = "dx*- 0 ““ ма (^г 01»
или
&и(Х. О______2 Pu (X, І) іл\
at« —а дх• к'
Итак, и (*, t) удовлетворяет уравнению Utt = CliUxx', легко проверить также, что и (лг, t) удовлетворяет начальным условиям:
и (х, 0) = 0, и\ (лг, 0) =0, (5)
и граничным условиям:
и (0, /)=0, и (/, 0 = 0. (3)
Докажем, что и (х, t) = 0.
Умножим обе части тождества (4) на ut (х, t) и затем проинтегрируем их по д; в границах от 0 до /:
UtrUt = OtUxx-Ut; і і
J utt ut dx = а2 J ихх ut dx. (6)
о о
Исследуем каждый из этих интегралов в отдельности:
/ / /
I) J UllUf dx = j -i- -L- ( и, fdx--= -І-Г J («;)• dx], (7)
0 0 Oi
Здесь мы использовали первую теорему о дифференцировании интеграла по параметру; в данном случае она применима, так как вторая производная по t от подинтегральной функции (ut)2 существует и ограничена (это следует из существования и ограниченности всех частных производных до третьего порядка включительно от функции и(х, /); см. замечание перед доказательством теоремы на стр. 237);
2) к интегралу, стоящему в правой части равенства (6), применим интегрирование по частям:
UxxUfdx = J utd(uj = u\(xyt) ux(xt t) J-j их utxdx =
