Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
* Здесь рассматривается только тот случай, когда натяжение в каждой точке не зависит от направления линии I, прохолящей через эту точку (т. е. натяжение одинаково во всех направлениях). Конечно, может оказаться, что конкретная мембрана в одном направлении сильнее натянута, чем в другом, но мы этого, более общего, случая не рассматриваем.
^alaUamiek
Глава I, §2________________________________________________ 107
натяжения численно равен 741 Д/^| и перпендикулярен векторам д7 и п, то.он равен их векторному произведению:
AF = [ТАЇ-п],
или
AF=T [д7-л].
Суммируя эти элементарные силы натяжения по всем Al , получим всю силу натяжения, действующую на S. При этом проекции суммарной силы натяжения на оси Ox и Oy равны нулю (так как, по условию, все точки мембраны перемещаются только в вертикальном направлении), а проекция на ось Ou (численно равная всей силе натяжения) вызывает перемещение площадки S.
Подсчитаем указанные проекции. Проекция элементарной силы AF на ось Ox равна скалярному произведению этой силы на орт і:
аТ-Т=т-[а1-п] -7.
В правой части этого равенства стоит смешанное, или тройное, произведение векторов Al, п, і . По свойству смешанного произведения круговая перестановка сомножителей не изменяет произведения. Поэтому
AF-I= Г.[пГ].Д/“
Суммируя по всем Al и затем переходя к пределу при шах |Д7| -> 0, получим проекцию Fx всей силы натяжения на ось Ох:
Fx = Iim ^AJ-I=Iim 2 Г(п • 7j Д 7 =
max шах 1д7|-*0 д7
= f T-inF]dF. (I)
і
Проекции силы натяжения на оси Oy и Ou (т. е. F и F ) равны таким же криволинейным интегралам: у и
Py = J Т[п /] dl, (2)
= (3)
198
Часть III
Для того чтобы упростить эти интегралы, выразим вектор
— ди ди
П 4eP*3дхИГу-
Уравнение поверхности S (в момент t) будет и = u(x,y,t) (здесь t фиксировано). Следовательно, уравнение касательной плоскости в точке (х, у, и) имеет вид:
V-U=
ди
дх
а вектор нормали равен
Sr-S^+*-
Чтобы получить единичный вектор нормали, надо найденный вектор разделить на его длину:
п =
ди - ди - -~дх'1~ду' 1+к
V (=Msr+'’
т т /&и\* (ди\*
Ho, по условию, слагаемыми I^l и I^j при единице можно пренебречь. Поэтому
- ди ди T , T
п = — ч- • / f «•
дх ду * 1
Найдем векторные произведения [п-і], [п • /], [л- k\:
і
I я I
In. і] =
ди
дх
І k
ди ду
0 0
~ і ди т
І + Щ'Ь
ди
дх
• k;
ди — ди —
Si-* + дї>-
Поэтому интегралы (I), (2), (3) можно переписать следую щим образом:
Fx = J Tdy + Tfdu, 0
^alaUausiib
знание 6esep ениц
Глава It § 2
199
Tdx—Tpxdu,
(2')
(3')
В интегралах (Г) и (2') вторые слагаемые могут быть опущены, так как они являются величинами второго порядка ма-
Эти равенства имеют место для любого замкнутого контура I на S. Следовательно, по лемме 2, всюду на S имеем: T = -= const. Итак, доказано, что в условиях нашей задачи плотность натяжения во всех точках мембраны одинакова.
Рассмотрим теперь проекцию суммарной силы натяжения па ось Ou:
Так как подинтегральная функция содержит переменные х
и у, но не содержит и (в частности, ~х и ~ также выражены
только через х и у), то интегрирование по контуру I можно заменить интегрированием по его проекции а затем к этому интегралу применить формулу Грина-Остроградского (см. рис. Cl, стр. 196).
лости по сравнению с частными производными ^ и ^; действительно, например
Итак,
Так как Fx = 0, Fy = 0, то
[Tdy = 0, ^Tdx = 0.
і
200
Часть 111
Кроме сил натяжения, на мембрану могут действовать и другие силы (например, вес). Равнодействующая всех сил, приложенных к какому-либо участку мембраны и отличных от сил натяжения, называется внешней силой на этом участке. Обозначим через <р(х, t/, t) тот предел, к которому стремится отношение внешней силы, действующей на элементарную площадку До в момент времени t, к массе этой площадки при стягивании До
к точке (х, у). Функция (р (х, у, /) называется плотностью внеш-
ней силы. Так как каждая точка мембраны может двигаться только по направлению оси и, то и внешняя сила в каждой точке параллельна оси Ou. Для того чтобы найти теперь всю внешнюю силу, действующую на о (или, что то же самое, на 5), надо разбить о на элементарные площадки До; внешняя сила, действующая на каждую элементарную площадку, равна ф(лг, у, /)*Г.До, а следовательно, вся внешняя сила равна
jiff*» У. Orde- (5)
о
Итак, окончательно, вся сила Ф, действующая на S, направлена по оси Ou и численно равна сумме выражений (4) и (5):
ф=и[г(й+0)+’г h
Применяя теорему о среднем, получим
ф = № + 0)+ ?г]мс(Л <6>
где Mcp — некоторая промежуточная точка площадки о.
С другой стороны, сила, действующая на материальную точку, равна произведению массы этой точки на ускорение; считая (при достаточно малом диаметре S) площадку 5 материальной точкой, получим
ф _ г S
Ot2
или, так как колебания мембраны малы, то* S s о, и поэтому
• Действительно, S = j j У I + (их)2 + (uyf da= j j da=а; здесь мы уч«
