Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
у' = + Уb—ac ; (IO1)
а
у’ = ь-VW~ac . (10а)
а
(предполагается, что ас — Ь2< 0, Ь2 — ас>0 всюду в области G). Пусть общий интеграл уравнения (IO1) имеет вид
? (Хг У) — k, (Il1)
а общий интеграл уравнения (IO2)
'Hx,y) = k. (Il2)
Интегральные кривые характеристического уравнения (т. е. все кривые, входящие в семейства (Il1) и (Il2)) называются характеристиками заданного дифференциального уравнения (I). В
связи с этим рассматриваемый метод упрощения уравнения (1)
называется методом характеристик.
Семейства (Il1) и (Il2) можно рассматривать, как общие интегралы уравнения (8) (это уравнение распадается на два уравнения (IOj) и (IO2)).
Следовательно, согласно доказанной теореме, функции
z = <р (х, у) и z = ф (х, у)
являются решениями уравнения в частных производных (6).
Функции ср (лг, у) и ф (X, у) независимы друг от друга (можно доказать, что их якобиан отличен от нуля, если ас — 68<0). Поэтому, возвращаясь к уравнению (1), мы можем в нем сделать замену переменных:
S = <р (X, у), Tfj = ф (х, у).
Так как функции <р и ф удовлетворяют уравнению (6), то в результате этой замены переменных окажется а = 0 и с = 0. Следовательно, уравнение (1) преобразуется к виду:
2b uiri + F [Ui, Mlj, и, S1 ifj) = 0 , или, после деления на 2Ь и переноса в другую часть равенства:
и]п = Ф (Ui, Un, и, It Yj) ,
Глава 5, § I
361
где Ф — функция, линейная относительно Ui, U11, и (CM. выше, формула (5)).
Полученное уравнение имеет более простой вид, чем исходное уравнение (1); если мы его сможем решить (т. е. найти и как функцию от і и vj), то для того, чтобы найти решение исходного уравнения, достаточно вернуться к старым переменным (выразив € и тг] через хну).
Пример. Найти общее решение уравнения
X^Uxx У2 Uyy =O. (12)
При этом под «общим решением уравнения в частных производных» мы будем подразумевать семейство всех функций, являющихся решениями этого уравнения.
В нашем уравнении а = х2, 6 = 0, с = — у*\ следовательно, ас — 6а = — лсУ < 0 всюду на плоскости Oxy (кроме точек, расположенных на осях координат). Поэтому здесь можно применить указанный прием упрощения уравнения.
Составим характеристическое уравнение:
x2dy2 — y2dx2 = 0,
или
Оно распадается на два уравнения:
y' = (его общий интеграл = k)\
X X
у' —------ (его общий интеграл ху — k)*.
Следовательно, исходное уравнение упростится в результате следующей замены переменных:
5 = -/J = ху.
Выразим ихх и иуу через производные от и по S и T1 и затем подставим их в уравнение (12).
• Прямые у = kx и гиперболы у = — являются характеристиками уравнения (12).
362
Часть III
"« = «Ц-(Е'*>2+ 2«?, -К'Х+ %'ЫЧ + "І • К, + и\ ¦ Ax =
=««•(- -?)*+2% • (- -f) ¦ у+• у1+
+ «І • -?- + 'у
H H 1 і Ґ\ * ^ І » 9
uM = "SE • I? + 2"ц • V * + % ¦ *'
Подставляя выражения для и и и' в уравнение, получим
** УУ
после упрощений:
- 4Уг и\ч + -^-«; = 0.
Заменяя, далее, на E1 а у2 на Syj, приведем наше уравнение к виду:
— 4?yj Uin + 21 Ui = 0,
или
2yj uin = uv
Уравнение приведено к простейшему виду. Для того чтобы его решить, обозначим Ui = v. Тогда уравнение (13) перепишется так:
2yj V = V.
1 tI
В этом уравнении фигурирует только одна независимая переменная (другая, 5, может рассматриваться как параметр). Решая это уравнение, как обыкновенное (с неизвестной функцией v и независимым переменным yj), получим:
dv _ d-ц . In у = In Yj + InC; v=C V Yj.
V 2-») ’
Здесь С— произвольная величина, не зависящая от % однако она может зависеть от 5, которое мы зафиксировали в процессе интегрирования уравнения; поэтому обозначим эту величину через C(S):
V = C(I)V V
Глава 5, § 2
363
Вспоминая теперь, что v = U11 получим:
ui = C(S)Kv
Проинтегрируем обе части этого равенства по 5 (в процессе интегрирования мы можем считать здесь постоянным, так как
— частная производная по S):
U= /ч Jc(5)ds + C,.
Здесь C1 — произвольная функция от % обозначим ее C1 (>;). Кроме того, неопределенный интеграл J С (S) d. 5 является произвольной функцией от S (в силу произвольности подинтегральной функции С (S)); обозначим этот интеграл C2 (S):
U = V-П C2 (?) + C1 fa).
Возвращаясь теперь к старым переменным х и у, получим:
и = V~xy C2 + C1 (ху), (14)
где C1 и C2 — произвольные функции от своих аргументов. Семейство (14) является общим решением данного уравнения; оно включает все его решения. В частности, например, решениями уравнения являются функции:
U = Vxy (-jrj + ~г] + In (ху);
U = Vxy sin -у- + уґху и т.д.
$ 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Приведение к каноническому виду
В предыдущем параграфе, когда мы упрощали уравнение второго порядка:
Ciuxx + 2 buxy + Cuyy + du'x + еи'у + fu + g = О, (1)
предполагалось, что выражение
Д = ас — Ь~ (2)
364
Часть III
((дискриминант уравнения) отрицательно всюду в области G. В этом случае заменой независимых переменных:
5 = 9 у), 1} = У(х. У)> (3)
