Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
о
(см. формулы (6) и (7) из § 3; произвольное слагаемое С, фигурирующее в этих формулах, можно, не ограничивая общности, положить равным нулю).
Построим график функции Ф (х):
X
Ф(*)= -YcP(X)--^ j>(z)rfz
о
(см., например, рис. 95). График функции Ф (x — at) при фиксированном t получится из графика Ф(*) смещением вправо на величину at. Таким образом, для того чтобы получить график Ф(* — at) из графика Ф (*), надо последний перемещать вправо со скоростью, равной а.
Если же построен график F (х), то для построения графика F (х -j- at) достаточно передвинуть его влево на величину at\ иными словами, график F (х + at) получится из графика F (л:) в результате перемещения влево со скоростью, равной а.
376
Часть III
Из этих рассуждений ясно, что если нами построены графики функций Ф(х) и F(x), то нетрудно построить линию, дающую форму струны в любой момент /; для этого достаточно сдвинуть кривую Ф(*) вправо на величину at, кривую F(x) — влево на ту же величину и затем для каждого х сложить гра-
фически ординаты полученных кривых. Полученная в результате сложения кривая даст нам форму струны в момент t (или, как говорят, профиль струны) (рис. 96).
Функция Ф (x — at) называется прямой волной, а функция F (х + at) — обратной волной. Профиль струны получится в результате сложения прямой и обратной волн.
Величина а дает нам скорость распространения поперечных колебаний. Как известно (см. вывод уравнения колебаний струны в главе 1, § 1), она имеет размерность скорости и равна
j/ —; таким образом, скорость распространения колебаний пропорциональна квадратному корню из силы натяжения струны и обратно пропорциональна квадратному корню из ее линейной плотности.
Глава 5. §4 377
Рассмотрим геометрический смысл формулы и (х, t) = Ф(х — at) + F (х + at).
Функция Ф (х — at), рассматриваемая как функция двух переменных xnt, имеет в качестве линий уровня на плоскости Oxt прямые линии А' — at -- const; иными словами, линиями уровня являются характеристики данного уравнения. Для того чтобы найти значение функции Ф в точке (х0, t0), достаточно провести линию уровня х — at = const через эту точку и найти пересечение этой линии с осью t -- 0; пусть это будет точка (*,, 0) (рис. 97). Тогда
Ф (х0 — at0) - Ф (X1 — а • 0) - Ф (Xi), т. е. значение функции Ф в точке (х0, /0) равно Ф(*і).
Аналогичные рассуждения применимы и к функции F (x+at): ее линиями уровня служат характеристики уравнения — прямые х + ot = const. Значение функции F в точке (х0, /0) равно значению этой же функции в точке (х2, 0) (где (х2, 0) — точка пересечения линии уровня, проходящей через точку (х0, Z0), с осью Ох). Поэтому
F (хо 4" О — F (х2 + а • 0) = F (х2).
Теперь для того, чтобы найти значение функции и(х, /) в точке-(х0, /0) (т. е. для того, чтобы найти величину отклонения струны в точке X0 в момент t0), достаточно провести через точку (*о> to) на плоскости Oxt две характеристики: х — at = const и х 4- ot = const; если они пересекают ось Ox соответственно в точках X1 и х2, то значение и (лг0, /0) равно сумме значений функции Ф в точке Xi и функции F в точке X2 (см. рис. 97).
378
Часть III
Пример 1. Пусть начальная скорость равна нулю, а начальное отклонение задается следующим условием: струна, закрепленная в начальный момент в точках х = а и х — [і, оттянута в середине отрезка [а; (3] на высоту h (рис. 98 а).
h_
2
б)
Ф,Ь) fi'at,
Если обозначить через <р(х) функцию, дающую начальное отклонение, то отклонение в любой момент выразится по формуле:
и (Л-,
Первое ^слагаемое дает прямую волну, второе — обратную. На рис. 98 б, 98 в изображен профиль струны в различные моменты времени.
t Плоскостью Oxt можно воспользоваться для того, чтобы найти отклонение струны в произвольной точке X0 в любой момент времени t0. Для этого надо через точку (л0, t0) на плоскости Oxt провести две характеристики. Если они пересекут ось Ox в точках хх и хг, то отклонение в точке л;0 в момент tQ равно
сумме значений функции -у 9 О*) в точках X1 и х2.
Проведем две характеристики через точку а на оси Ox и еще две характеристики через точку 3. Эти четыре прямые разобьют
ШЇаНашгШ
інзние Ces»рениц H
Глава 5, § 4
379
верхнюю полуплоскость (t > 0) на 6 областей (рис. 99). Отклонение будет отлично от нуля только в тех точках плоскости Oxt, для которых хотя бы одна из характеристик, проходящих через эти точки, пересекает ось абсцисс на участке (а, р). Таким образом, положению покоя соответствуют точки, лежащие в областях 4, 5, 6; отклонение будет положительно всюду в областях 1, 2, 3. Для того чтобы сказанное стало яснее, проследим,
как с течением времени t изменяется отклонение точки струны с абсциссой X (рис. 99): в моменты времени от / = 0 до t = X1 точка пребывает в состоянии покоя; колебание до нее еще не дошло (в этом случае точка (X, t) находится в области 5). В моменты от / = T1 до t = Xa точка будет находиться в состоянии движения: до этой точки дошла прямая волна. Во все моменты времени, более поздние, чем Tjf мы попадаем снова в область покоя (область 6); значит, при t > т2 точка с абсциссой X будет снова пребывать в покое (отклонение равно нулю).
