Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
мы свели уравнение (1) к уравнению
% = Ф(и*> *V и' ^
При этом функции 9 и с помощью которых мы осуществляли замену, были двумя независимыми друг от друга решениями уравнения
a(zx)2 +2bzxz'y + c(z'f “ 0. (5)
В случае, если дискриминант уравнения отрицателен, уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа; простейший вид уравнения гиперболического типа — уравнение (4), называется каноническим видом уравнения гиперболического типа.
Рассмотрим теперь те случаи, когда дискриминант не является отрицательным.
Если L-ас — fc2> 0 в точке (л:0, у0), то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в точке (х0, у0). Если А > 0 во всех точках области G, то уравнение называется уравнением эллиптического типа в области G.
Если Д = ас — Ьг — 0 в точке (дг0, у0), то уравнение называется уравнением параболического типа в точке (*0, у0). Если Д = 0 всюду в области G1 то уравнение называется уравнением параболического типа в области G.
Как уже указывалось выше, если Д < 0 в точке (или всюду в области G), то уравнение называется уравнением гиперболического типа в точке (или в области G).
Наконец, если в одних точках области G уравнение принадлежит к одному типу, а в других — к другому, то уравнение называется уравнением смешанного типа в области G.
Заметим, что тип уравнения не меняется при преобразовании уравнения с помощью замены переменных:
& = ?(*, У)' V='И*. У)> (6)
каковы бы ни были функции f и f (лишь бы их якобиан был отличен от нуля). Действительно, если обозначить через Д дискриминант уравнения после замены переменных (т. е.
Глава 5, § 2
365
Д =сс — Ьъ, где а, b, с — новые коэффициенты уравнения), то, как легко подсчитать, имеет место равенство:
X и
(7)
Это равенство можно получить, если учесть^ формулы (5') из предыдущего параграфа, выражающие а, b и с_ через а, Ь, с, и затем вычислить Д, подставив в Д вместо а, b и с их значения, найденные по формулам (5'). После несложных преобразований получаем равенство (7).
Из этого равенства вытекает (в силу того, что якобиан не
равен нулю и, следовательно,
5' г' 2
X *у
> 0), что
если Д < 0, то її Д < 0;
если Л 0, то и Д = 0;
если Д > 0, то и Д > 0.
Иными словами, преобразование (6) не меняет типа дифференциального уравнения; говорят, что тип уравнения инвариантен* относительно преобразования независимых переменных.
Рассмотрим, как можно упростить уравнение («привести его к каноническому виду»), если оно является уравнением параболического типа. В этом случае
Д = ас - Ь- 0. (8)
Будем считать, что b 0 (если бы было Ь 0, то тогда из (8) следовало бы, что по крайней мере один из коэффициентов а или с также равен нулю; но тогда в уравнении фигурировал бы только один член, содержащий производные второго порядка, т. е. уравнение уже было бы столь простым, что не требовалось бы его дальнейшего упрощения).
Итак, пусть b / 0. Тогда ас > 0, откуда следует, что а и с одного знака; всегда можно считать, что они оба положительны (если они оба отрицательны, то нужно предварительно умножить все члены уравнения на —1). Обозначим а — аа, с = р2;
* Инвариантен (invariant)—неизменен.
366
Часть III
тогда Ьг = а2р2. Выберем знаки а и р так, чтобы произведение ар имело бы тот же знак, что и Ь. Тогда Ь = ар, и уравнение (1) перепишется следующим образом:
’Ч, -I- ?,Р «да+ dltX + CU'y -I- /“ + S = °- (1 ')
Его характеристическое уравнение
a2 d*/2 — 2ар dx dy f- р2 Cfxa = О приводится к виду
Ыу — ^dxf = О, или а dy = р dx.
Решая его, находим только одно семейство характеристик:
<?(х, У) = к.
Для того чтобы упростить уравнение (1), сделаем следующую замену переменных:
& = ?(*, У), = У)>
где ср (х, у) — функция, найденная нами выше (при решении характеристического уравнения), а ф (х, у) — совершенно произвольная дифференцируемая функция, удовлетворяющая единственному требованию — чтобы она была независима с <р (х, у).
Если мы сделаем указанную замену, то а обратится в нуль; действительно, согласно основной теореме предыдущего параграфа, ф(х, у) является решением уравнения
a2(zJ2 + 2apz'.z'/Hp2(z^)2= О,
и поэтому
а -в&)* -і- 2«; {;н-с(у = = 0.
Коэффициент с отличен от нуля. Что же касается коэффициента Ь, то его можно вычислить по формулам (5') из § 1:
b ~ azx'fix ~Ь Ь Ctyfit/ ~
= «х + «р (?;? -1- Ciu) + №’л = К + К~> К '!¦ Ч>-
Глава 5, § 2
367
Заметим теперь, что буквально так же, как мы доказывали основную теорему § 1, можно доказать следующее утверждение.
Для того чтобы функция Z = / (х, у) во всех точках области G удовлетворяла уравнению az'x -b $zy ----- 0, необходимо и достаточно, чтобы семейство f (дг, у) = k было общим интегралом уравнения a dy — $dx = Oe той же области G.
В данном случае семейство <р(х, у) ----- k является общим решением уравнения a dy — р dx 0; следовательно, а <рх -f 1? = 0; но S -- 9 (а*, у), поэтому
b (a;A I fty) (аrix -\- фчу) =0.
Итак, в результате выполненного преобразования уравнение (Г) привелось к виду:
