Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 103

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 110 >> Следующая


учтем формулу (3j) и применим снова правило дифференцирова ния сложной функции:

5 = ?(*. У)\ 7I = У)-

(2)

биан преобразования (т. е. определитель
Глава 5, § I

357

Следовательно,

Гд*и( у, Y . пд'и у. . . д2и ґ„*\2І , ди ди ,, /л ч

ихх~ \ ^xJ + ^ftdri 'х% + дц* '4J J 06 хх+ dr} ^xx- (4|)

Аналогично найдем:

Гдаи . д2и ( . Л . д*и . ,]

uXV~ [аеа ^x 'у + дідїі [liXX + ^yXj + dl]2 riX X J +

-L I OiL у,” (Л \

ґ ае VГ д-q Xy' ' «

\д*и (t> V 2 , пдаи у, . . даи/~'\2І . ди ґ,. ди

Uvv~\dP^v> + 2d?drt zV X + дц"™ J д? ду Xy ‘

(4з)

Правые части равенств (3,), (32), (4!), (4а), (4з) представляют собой линейные функции относительно частных производных

ди д*и д*и даи „ , .

дч’ dpf (Щ* Ihf" Подставляя Uxt UytUxxt... из этих формул в уравнение (1), мы получим снова линейное уравнение второго порядка с

неизвестной функцией и и независимыми переменными ? и -ц:

а «к + 26 Utlj + с ищ b F (u\t uT{t и, Б, tq) = 0, (5)

где

а = в(С)*+26 СС + с(С)*;

6 = ObxTix -f б( Ix Ч\у jT by fix) с Tlv; (5')

с =T fl( TQjc)3 + 26 r^fly -f с( TJi,)3 ,

а F — функция, линейная относительно и[, ип, и .

Уравнение (5) становится особенно простым, если в нем коэффициенты а и с окажутся равными нулю. Для того чтобы первоначально заданное уравнение (1) можно было привести к такому простому виду, надо в нем сделать замену переменных

S = 9(х, у), гI = Ф(*. У).

подобрав функции ср и <|> так, чтобы они являлись решениями уравнения:

a(zx )24- 26г* гу + с (гу f = 0. (6)

Это уравнение является нелинейным уравнением в частных производных первого порядка. Следующая теорема покажет, как свя-
358

Часть III

заны его решения с общим решением некоторого обыкновенного уравнения.

Теорема. Для того чтобы функция z ~ f(x, у) во всех точках области G удовлетворяла уравнению (6), необходимо и достаточно, чтобы семейство

fix, у) = k (7)

было общим интегралом уравнения

a(dy)% — 2 b dy dx + c(dx)* = 0 (8)

в той же области G.

Доказательство. Необходимость. Пусть z = fix, у)— решение уравнения (6). Рассмотрим семейство кривых fix, у) = k и докажем, что любая кривая этого семейства удовлетворяет уравнению (7).

В любой точке, лежащей на кривой fix, у) = k (где k — фиксировано), выполняется следующее равенство:

fx(x, y)dx+ fyix, y)dy = 0;

действительно вдоль данной кривой функция fix, у) постоянна, и поэтому ее полный дифференциал равен нулю.

Следовательно, всюду на кривой имеет место равенство:

dx __ dy

17

обозначим каждое из этих отношений через X; тогда

dx = lfy) dy = — Ifx.

Подставляя эти выражения для dx и dy в левую часть уравнения (8), получим:

a(dyf — 2bdxdy + c{dyf = >.* [ а( f'x)* + 2bf'x fv +c( /*]2] .

Выражение, стоящее в квадратных скобках, равно нулю, так как, по условию, функция f(x, у) есть решение уравнения (6). Следовательно, во всех точках нашей кривой имеет место равенство

aidy)2 — fIbdxdy + cidy'f — 0,

откуда вытекает, что она является интегральной кривой уравнения (8).

Итак, любая кривая вида fix, у) ~ k является интегральной кривой уравнения (8); с другой стороны, через каждую точку об-
Глава 5, § I

359

ласти G проходит кривая такого вида; это вытекает из того, что функция f(x, у) определена всюду в области G и поэтому, например, через точку (*<,, у0) проходит кривая

f(x, У) = /(*о Уо)-

Отсюда следует, что семейство /(лг, у) — k является общим интегралом уравнения (8).

Достаточность. Пусть семейство / (х, у) — k будет общим интегралом уравнения (8). Возьмем произвольную точку (лг0, у0) из G и выделим ту кривую семейства, которая проходит через эту точку:

/(*, У) = k0. (9)

Так же, как и при доказательстве необходимости, убеждаемся, что всюду вдоль этой кривой выполняется равенство

dx dy

откуда

dx = l-fy\ dy = -X- (10)

Так как кривая является интегральной кривой уравнения (8), то при подстановке в это уравнение dx и dy из (10), получим тождество:

х*[а(/;)*+2б/;/; + с(/;)а] = о,

или, после сокращения на X2:

а( /*)2+ Щк(у + с (fy)2= 0.

В частности, в точке (*0, у0) имеет место:

Фо, I/o)-(f 'x)2!(*«, у9) + 2b(x(i,yQ)-f 'x I

(Хо, Vo)' fy 1(*о- Uo) “¦ ~

+ C(Xo,yo)-{fvY\(x0, V0) =0.

Ho последнее равенство означает, что функция двух переменных f(x, у) удовлетворяет в точке (*о, Уо) уравнению (7). Так как точка (*0, i/о) была взята произвольно в области G, то функция f(x, у) удовлетворяет уравнению (7) во ёсех точках этой области, т. е. эта функция является одним из решений уравнения (7). Таким образом, теорема доказана.

Рассмотренная теорема открывает путь для упрощения исходного уравнения (1). Для этого сначала составляем вспомогательное уравнение (8); оно называется характеристическим у рае-
360

Часть III

ненцем для данного уравнения (1). Характеристическое уравнение есть обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, но второй степени. Разрешая его относительно ух (предварительно разделив все члены уравнения на dx2)t получим два уравнения: ______
Предыдущая << 1 .. 97 98 99 100 101 102 < 103 > 104 105 106 107 108 109 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed