Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Из доказанной теоремы следует, что это свойство выполняется не только для линейных, но и для любых функций, гармонических в связной области.
4. Теорема о единственности решения задачи Дирихле. Если две функции, гармонические внутри замкнутой ограниченной, связной области V и непрерывные на ее границе, равны друй другу всюду на границе области V, то они равны друг другу и всюду внутри V. Иными словами, гармоническая внутри облш
Глава 4,§ I
343
emu V функция однозначно определяется своими значениями на границе области.
Доказательство. Пусть Q1(M) и qt(M)— две гармонические функции, принимающие одинаковые значения на границе области V. Обозначим через q (M) разность этих функций
q(M)~ qx (M)- q% (M).
Тогда q (M) — гармоническая внутри V функция, равная нулю всюду на границе области V. Докажем, что она равна нулю также всюду внутри V. Допустим, что внутри V найдутся точки, в которых функция отлична от нуля, например положительна. Тогда и наибольшее значение функции должно быть положительным. Ho на границе функция равна нулю; следовательно, наибольшее значение функции достигается во внутренней точке области V. А это невозможно, так как q(M) — гармоническая функция. Аналогичное противоречие мы получили бы, если бы внутри области
V оказалась точка, где функция отрицательна.
Итак, во всех точках области V функция q(M) должна равняться нулю:
q (M) ев 0.
откуда
9i (M) — Чі (M) = О,
Яі (M) ^ Ih (M),
что и требовалось доказать.
Приведем пример, который на первый взгляд опровергает эту теорему.
Пример. Рассмотрим две функции: qt (M) =2= 1 и q% (M) —
= —------*------: легко подсчитать лапласиан для каждой из
Vx* + */“4*га
этих функций и убедиться, что /л\ ^1 = O1 /л_ _v» q% === 0. На границе шара единичного радиуса с центром в начале координат эти функции принимают одинаковые значения (и та, и другая функция равны единице всюду на поверхности единичной сферы). И вместе с тем эти функции не равны друг другу внутри сферы. Чем объясняется кажущееся противоречие с доказанной теоремой единственности? Это противоречие раскрывается просто: qt (M) не является гармонической внутри единичного шара (хотя ее лапласиан и равен нулю); дело в том, что она терпит разрыв внутри шара, в точке (0; 0; 0). Единственной же гармонической функцией, равной единице всюду на поверхности шара, является функция (M)== 1.
344
Часть III
Замечание. Теорема единственности решения задачи Дирихле доказана нами для того случая, когда на поверхности 5 (где S — граница области V) задана непрерывная функция. Однако можно доказать, что эта теорема остается в силе и для более общего случая, когда функция, заданная на поверхности S, кусочно-непрерывна и ограничена на этой поверхности.
Метод сеток для приближенного решения задачи Дирихле. Теорема о том, что значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому ее значений на поверх-
ty+Z, К
Ґ V)
MitKi к J MilKi H
и rl,K
mO,/ M0.2 • • • М0,П
Рис. 91
ности, может быть применена к приближенному решению задачи Дирихле.
Для простоты изложения ограничимся плоской задачей Дирихле. Заметим, что теорема о среднем арифметическом справедлива и для гармонических функций от двух переменных; только в этом случае она формулируется следующим образом: значение гармонической функции в центре круга равно среднему арифметическому ее значений на контуре круга.
Пусть нам задана область о на плоскости, ограниченная прямоугольником /, стороны которого соизмеримы. Требуется найти гармоническую функцию, определенную в области о и принимающую заданные значения на контуре /. Для того, чтобы решить эту задачу, разобьем каждую из сторон прямоугольника / на несколько малых, равных друг другу, отрезков (это можно сделать, так как стороны прямоугольника, по условию, соизмеримы). Проведя через точки деления прямые, параллельные сторонам прямоугольника, мы разобьем область о на несколько квадратов (рис. 91). Будем считать нашу задачу решенной, если
ШЇаЙатіШ
знание без фіамш
Г лава 4t§ I 345
нам удастся вычислить значения искомой гармонической функции во всех узлах построенной сетки (т. е. во всех вершинах построенных малых квадратиков).
Обозначим через Mii д точку пересечения t-ой горизонтальной прямой с ?-ой вертикальной (г — 0, 1, 2, ... т; k = О, I1 2,... л), а через а( k — значение искомой гармонической функции в точке
Mt, к. Проведем для каждой точки Mit *, лежащей внутри прямоугольника, окружность с центром в этой точке и с радиусом, равным стороне малых квадратиков. Тогда, согласно теореме о среднем арифметическом, можно написать:
НАЛ \ f (Mi-\.k) + f (Mt. k-\)+ к)+f [Mh k+l)
Г (Mi, к) =-----------------------4-----------------------.
или
7. к
1 /
I, *
а
I, A-I
а
/+!. Л
V. А+1,
Это равенство можно рассматривать как уравнение с неизвестными числами а, л, ai X к и т. д. Число этих уравнений равно числу неизвестных (и уравнений, и неизвестных будет ровно столько, сколько имеется, узлов сетки, лежащих внутри прямоугольника, т. е. (т—l)(n—1)). Эта система всегда разрешима. Практическое ее решение сопряжено с известными трудностями; однако эти трудности легко преодолимы, если пользоваться для вычислений счетной машиной. Решив эту систему, найдем значения искомой гармонической функции во всех узлах построенной сетки (т. е. во всех точках M1, *).
