Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
среднее арифметическое равно JJ <7 (M) dS.
s
Замечание. Приведенные рассуждения приложимы не только к поверхностным интегралам, но и к двойным, тройным и т. д. Так, например, средним арифметическим для функции f(x,y,z) трех переменных в области V называется число
/(*, У, г) dV;
средним арифметическим функции f(x) одного переменного на отрезке [а\ Ь\ — число
О
4га jf(x)dx
и т. д.
3. Теорема о наибольшем и наименьшем значениях гармонической функции. Если функция <7 (M) является гармонической внутри связной * замкнутой ограниченной области V и непрерывной на ее границе, то наибольшее и наименьшее значения этой функции могут достигаться только на границе области
* Напомним, что область V называется связной, если любые две внутренние точки этой области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей внутри области.
340
Часть Hf
V (за исключением того случая, когда q (M) постоянна всюду в V).
Поясним смысл этой теоремы. Так как функция q (M), по условию, является непрерывной в замкнутой ограниченной области V, то она ограничена в этой области и достигает в ней: наибольшего и наименьшего значений. Где же находится та
точка Mq, в которой функция достигает, например, наибольшего значения? Докажем, что она не может находиться внутри области; следовательно, она находится на ее границе.
Докажем это от противного. Пусть функция q (M) достигает своего наибольшего значения в точке AL, лежащей внутри области V (рис. 88). Если M0 является внутренней точкой области, то вокруг M0 можно опиг сать шар (с центром в MJ, целиком принадлежащий области V. Обозна* чим радиус этого шара через р, щ его поверхность — через Sp. Тогда по ранее доказанному свойству гармонических функций, имеет место равенство
V(Mt) dS-
5P
С другой стороны, имеет место очевидное равенство:
?(4) = T^r Я* M)'dS*
SP
Вычитая почленно из второго равенства первое, получим:
°=7^Я &(4)-?(M)}dS.
SP
или
fo(Af0)-f(Af)]dS~0.
Sn
• Для вычисления этого интеграла достаточно вынести постоянный множитель <7(M0) за знак интеграла и затем учесть, что JjdS = Sp = 4тгра
sP
Глава 4, § I
341
Подинтегральная функция здесь непрерывна и неотрицательна (так как q (M0)t по условию, является наибольшим значением функции в области V); но интеграл от непрерывной неотрицательной функции может быть равен нулю в том и только в том случае, когда эта функция тождественно равна нулю в области интегрирования.
Итак,
q (M0) — q (M) = Ot или q (M) = <7 (M0)
всюду на Sp- А так как все эти вычисления можно применить и к сфере любого радиуса, меньшего чем р, то,
q (M) ^q (M9)
всюду внутри шара радиуса р, т. е. в этом шаре функция постоянна.
Докажем теперь, что если внутренняя точка M0 является точкой наибольшего значения в области Vt то функция будет постоянной не только в окрестности точки M0, HO и всюду внутри области V. Возьмем для этого произвольную точку Mi внутри V и соединим ее с точкой M0 непрерывной кривой /, лежащей внутри этой области (что можно сделать в силу связности области V\ рис. 89). Пусть а > 0 — наименьшее расстояние между точками этой кривой и точками границы области V. Опишем вокруг M0 шар радиуса р, где р — какое-либо число, меньшее, чем а; он лежит внутри V; по доказанному, внутри этого шара функция постоянна. Сместим теперь центр шара вдоль по кривой / так, чтобы новый центр M0 не вышел за пределы ранее построенного шара. Тогда и внутри нового шара функция всюду принимает постоянное значение, равное /(M0) (это следует из того, что в точке М'0 функция принимает наибольшее в об* ласти V значение, так как /(-W') =/(/W0)). Перемещая таким
образом центр шара все дальше и дальше, совместим его, в конце концов, с точкой M1. Рассуждая так же, как и при переходе от точки M0 к точке M0, убеждаемся, что значение функции во всех точках кривой / одно и то же; в частности, f (M1) — f (M).
Итак, если бы гармоническая функция достигала наибольшего значения внутри области Vt то эта функция принимала бы во всех внутренних точках области одно и то же значение; в силу непрерывности, она должна была бы принимать это же значение и на границе области; иными словами, эта функция была бы постоянной в области V.
342
Часть Iif
Следовательно, если гармоническая функция не постоянна, то она не может достигать наибольшего значения внутри области V. Значит, точка, в которой функция достигает своего наибольшего в области V значения, находится на границе этой области.
IfXflMeI
ф<ф{мв)
Рис. 89
Рис. 90
Аналогично доказывается, что для непостоянной гармонической функции точка, где функция достигает своего наименьшего значения, также находится на границе области V.
Замечание. Частным случаем гармонической функции является линейная функция д = Ax + By + Cz + D. Для нее доказанное свойство совершенно очевидно: поверхностями уровня для такой функции являются параллельные плоскости Ax -j- By •+• + Cz + D = const; если точка M0 является внутренней точкой области V, то на плоскостях уровня, лежащих по одну сторону от точки M0, функция принимает значения, меньшие, чем q (.M0), а на плоскостях, лежащих по другую сторону, — большие, чем q(M0) (рис. 90). Ho это означает, что точка M0 не является ни точкой наибольшего, ни точкой наименьшего значения функции q(M).
