Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
• Заметим, что формула (12), выведенная нами в предположении, что М0ФО, сохраняется в силе и при M0=O; в этом случае r — R, р = 0 и формула (12) переходит в ранее выведенную для центра M0 сферы формулу:
^=WfI9wds-
Глава 4, § 2 353
тического пользования. Обозначим через у угол между векторами OM0 и ОМ. Тогда *
г* =ра R2 — 2р/? cos у
г*
S (ра-}-/?а—2р/? cos 7)2
Переходя к сферическим координатам (учитывая, что поверхность S является координатной поверхностью в сферических координатах и что dS = R2 sin 0 dyds), получим:
Q(Mo) = f f---------—---------т- • sin MQdy. (із)
о о (ра Ь /?а — 2Р/? cosy) 2
Этот интеграл также называется интегралом Пуассона для сферы; для его практического вычисления надо предварительно представить 7 (для переменной точки M на поверхности сферы) и q(M) как функции от широты 0 и долготы ср точки М. Покажем на примере, как это делается.
Пример. На верхней половине поверхности сферы поддерживается постоянная температура -J-IOO0t на нижней половине — температура 0°. Считая, что температура внутри однородного шара, ограниченного этой поверхностью, установилась, вычислить, чему она равна в точках О (0, 0, 0)иМо| 0,0, j, где R—
радиус шара, а О — его центр.
Задача сводится к вычислению значений гармонической функции q(M), заданной на поверхности сферы. Значение этой функции в точке О вычисляется совсем легко:
*<°> =W JjWs= -к* Я100dS-
S S1
где S1-верхняя половина сферы. Ho Jf IOOdS = 100-2nR2. Поэтому
?(°) = -юо-ад* = 50°.
Вычислим теперь q(M0). Применим для этого формулу (13).
12 К). С. Очан
354
Часть III
Так как M0 лежит на оси Oz, то угол 7 равен широте © точки
/? **
M (рис. 94), р = -g. Кроме того, на поверхности сферы
д(М) =
0° при - < 0 TC.
Поэтому формула (13), в данном случае, перепишется следующим образом:
T
2к T
Q(M0)
100 sinB d0 d<p
4«
*оіо cos В J
it
2^12
= 'ЭЮ f Г Si" еда d 150. (1----------------L) * 82,92°.
IGn \ \ з_ т \ 1 5/
Напомним, что эта задача была ранее решена методом Фурье (глава 2, § 15). Там мы получили значение температуры в точке M0 равное 83,1°. Расхождение результатов объясняется тем, что при решении методом Фурье мы ограничивались лишь несколь-
ftalattautfek.
Глава 5, § I 355
ними первыми членами ряда; отбросив остальные члены, мы допустили погрешность » 0,2°; результат же вычисления с помощью интеграла Пуассона дает точное значение гармоничес-
ГЛАВА 5
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК
§ /. Преобразование линейных уравнений второго порядка с помощью замены переменных
До сих пор мы шли следующим путем: ставили ту или иную физическую задачу и затем составляли дифференциальное уравнение; потом, решая это уравнение, мы находили решение нашей физической задачи. Как мы видели, все те задачи, которые мы ставили, приводили нас к линейным уравнениям второго порядка (т. е. к уравнениям, линейным относительно неизвестной функции и ее производных, причем порядок производных, входящих в эти уравнения, был не выше второго).
В настоящем параграфе мы пойдем другим путем: будем исходить не из той или иной физической задачи, а непосредственно из математической задачи исследования и решения линейного дифференциального уравнения второго порядка в общем виде (независимо от того, какая физическая задача может привести к этому уравнению). При этом мы ограничимся уравнениями, в которых неизвестная функция и зависит только от двух независимых переменных X И у.
Любое линейное дифференциальное уравнение второго порядка (при двух независимых переменных) может быть зайисано в следующем виде:
а-н^ + 26-w^ + c-w 'у'у + d-u'x + e-uy + f-u + g = 0, (I)
12*
кой функции в данной точке: q (M0) =150-
356
Часть HI
гдё~а, b, с, d, е, /, g — заданные непрерывные функции от х и у (или в частном случае, постоянные).
Попытаемся упростить это уравнение с помощью замены независимых переменных:
Здесь ? и 7] — новые независимые переменные. Функции 9 И ф, связывающие новые переменные со старыми, будут подобраны позднее; пока же мы будем считать их дифференцируемыми нужное число раз. Кроме того, будем считать, что система уравнений (2) может быть однозначно разрешена относительно х и у\ это надо понимать следующим образом: если функции ср и <J> отображают некоторую область G плоскости Oxy в область G* плоскости OStqi то при этом каждой точке (S, Yj) области G* соответствует только одна точка области G (иначе говоря, отображение области G на G*, даваемое функциями <р и ф, является взаимно однозначным). Как известно, для этого достаточно, чтобы яко-
сти G не обращался в нуль.
Для того чтобы сделать требуемую замену переменных, выразим частные производные от функции и по х и у через производные от и по S и Tfj:
Это записано на основании правила дифференцирования сложно^ функции ОТ двух переменных (здесь и зависит ОТ ? и Yjt которые в свою очередь, зависят от х и у).
Для того чтобы выразить и”х через производные ПО 5 И YJ
