Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 2. Рассмотрим бесконечную струну, у которой начальное отклонение равно нулю, а начальная скорость равна V0 на участке а < х < (3 и нулю — вне этого участка.
Тогда решение запишется следующим образом:
0
Ot
fi *
Л
Рис. 99
11 (*. 0 -?- f '>(2)dz,
x-\-at
где
V0 ГфИ Ot < Z < р,
0 при Z < я ИЛИ Z > р.
380
Часть III
Если через Ч** (г) обозначить какую-либо первообразную от функ-ции то отклонение и(х, t) можно представить следующим
образом:
и (л\ /) = Ч; (л* at) — W (х — at).
Ясно, что в данном случае верхняя полуплоскость плоскости Oxt снова естественным образом разбивается на 6 областей (см. выше, рис. 99). При этом четвертая и пятая области соответствуют точкам, для которых отклонение равно нулю; в шестой области отклонение также постоянно, HO оно уже отлично от нуля (оно
Если проследить, чему равно отклонение в различные моменты времени, например, в точке X (рис. 99), то можно заметить, что на участке 0 < t < X1 отклонение в точке X равно нулю, за период времени от T1 до та отклонение будет нарастать, и начиная с момента х2 отклонение в точке X остается неизменным ^равным г°^2~ -^. Это — так называемая остаточная деформация струны в точке X.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть I.
Векторный анализ (Математическая теория поля)
Стр.
§ 1. Скалярные и векторные поля................................................. 3
§ 2. Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по
Дуге a...........I*....... 7
§ 3. Градиент скалярного поля. 12
§ 4. Интеграл по поверхности......................... 17
§ 5. Формула1 Гаусса-Остроградского ................. 22
§ 6. Векторное поле. Векторные линии. Векторные трубки . . 25
§ 7. Поток векторного поля через поверхность......... 29
§ 8. Дивергенция векторного поля..................... 33
§ 9. Соленоидальные поля............................. 40
§ 10. Циркуляция векторного поля по контуру............... 41
§ 11. Формула Грина-Остроградского и теорема Стокса . . 46
§ 12. Плотность циркуляции векторного поля. Ротор .... 52
§ 13. Правила действий над дивергенцией и ротором .... 60
§ 14. Безвихревое поле.................... ..... 61
I 15. Потенциальное поле.............................. 66
§ 16. Криволинейные координаты........................ 74
§ 17. Скалярные и векторные поля в криволинейных координа-
тах. Вычисление градиента с помощью криволинейных
координат.................................................................. 82
§ 18. Интегральные и дифференциальные операции над векторным полем в криволинейных координатах.................... 85
§ 19. Дифференциальные операции второго порядка....... 100
Часть II.
Краевые задачи. Ортогональные системы функций
§ 1. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Собственные решения 105
§ 2. Самосопряженное уравнение второго порядка................. 108
§ 3. Собственные числа и собственные функции................... 114
§ 4. Уравнение Бесселя......................................... 123
§ 5. Краевая задача, приводящая к функциям Бесселя. Ортогональность функций Бесселя 129
§ 6. Уравнение Лежандра нулевого порядка. Полиномы Лежандра 134
$ 7. Уравнение Лежандра n-го порядка........................... 143
§ 8. Краевые задачи, приводящие к тригонометрическим функциям 146
§ 9. Ряды по ортогональным системам функций.................... 149
§ 10. Тригонометрические ряды Фурье............................. 159
3S2
Стр.
§ 11. Ряды Фурье-Бесселя ..................... 168
§ 12. Ряды Фурье-Лежаидра..................... 170
§ 13. О замкнутости системы тригонометрических функции и
системы полиномов Лежандра............................... 174
Часть III.
УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Глава 1. Вывод некоторых уравнений математической физики
§ 1. Уравнение колебания струны.................. 185
§ 2. Уравнение колебания мембраны................. 193
§ 3. Вывод уравнения теплопроводности............... 203
§ 4. Вывод основного уравнения гидродинамики............ 214
Глава 2. Решение уравнений методом Фурье (метод разделения
переменных)
§ 1. Решение уравнения свободных колебаний струны методом
Фурье.................................................... 219
§ 2. Интегралы, зависящие от параметра, и их приложения 228
§ 3. Доказательство единственности решения задачи о колебании струны................................................... . 237
§ 4. Общие замечания о методе Фурье......................... 241
§ 5. Решение уравнения колебания струны при наличии внешних
сил (вынужденные колебания).............................. 246
§ 6. Решение задачи о колебании конечной струны в случае неоднородных граничных условий .................................. 253
§ 7. Решение уравнения теплопроводности для конечного стержня 257
§ 8. Двойные ряды Фурье.................................... 260
§ 9. Решение уравнения колебания прямоугольной мембраны 264