Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Ctlyin -І" Fiti-, Wtj, U, S, Yj) 0, или, после деления на с и переноса:
U1jt Ф (щ, Uyl, и, S, Г{), (9)
¦ і t * где Ф — функция, линейная относительно щ, Wtj, и. Уравнение,
записанное в форме (9), называется каноническим видом уравнения параболического типа.
Пример 1. Найти общее решение уравнения:
X2Ulix-2хIjullll-VyVm+ 2XIIx -- 0. (10)
Решая характеристическое уравнение
хЧі/ -|- 2ху dx dy -|- ifdx2 — 0, или, что то же самое,
xdtj h ydx = 0, находим одно семейство характеристик:
ху ---= k.
Поэтому здесь можно произвести следующую замену переменных:
г
368
Честь III
Вторая функция нами выбрана произвольно — с единственным условием, чтобы якобиан был отличен от нуля (в данном случае, якобиан равен у\ он отличен от нуля во всякой области, не содержащей точек оси Ох).
Для того чтобы преобразовать уравнение к новым координатам, выразим ихх, иху, Uyyt и'х через производные от и по новым переменным:
их- и[-у\
* D о
«„ 4-У’
uXI,' uIi-jtV I V*/-I и’о uIu : uK-Xi^iuWx \ и\*-
Подставляя в уравнение (10), получим, после упрощений:
о-
rIiI
Таким образом, уравнение приведено к каноническому виду; в данном случае приведенное уравнение легко интегрируется:
=Ci ©, и-C1(S)-Vl C2(S).
где Ci и C2 — произвольные функции от 5. Возвращаясь к старым переменным, получим окончательно:
и =- C1 (ху) -у \-Ci (ху).
Это общее решение. Беря в качестве C1 и C2 те или иные конкретные функции от 5, получим различные частные решения; так, например, частными решениями будут:
и (xyf-y + -^r ;
и --- у ’ sin (ху) + ху, и т. д.
В заключение рассмотрим вопрос об упрощении уравнения эллиптического типа. Пусть всюду в рассматриваемой области
д — ас — Ь2 > 0.
* Cm. формулы (4,), (4«), (43) из § 1.
^lalaUausiWl
знаниеСезіраниц \ **
Глава 5, § 2 ____________________________________________369
Тогда характеристическое уравнение распадается на два дифференциальных уравнения:
, Ь I-уь*-ас . , Ъ-УЬ*-ас
у - _ f у а ,
правые части которых комплексны для всех точек из области Gt причем в каждой точке (х, у) из G чйсла
Ь-\-У Ь* — ос Ь — \ Ьг — ас а а
являются сопряженными комплексными числами.
Пусть 9(х, у)-= к — общий интеграл одного из полученных уравнений (11); ясно, что 9 (л*, у) — функция, принимающая комплексные значения. Можно показать, что если 9* (х, у) — функция, комплексно сопряженная с 9 (л-, у), то семейство 9* (*» У) — к будет общим интегралом другого уравнения (11). Если теперь сделать замену переменных:
5“=9(*. У)> yI ~ ? (х, У), то, согласно общей теории, уравнение (1) приведется к виду
uE4 = ф (“і» 1V и> (12)
В этом мы убеждаемся так же, как и в случае уравнения гиперболического типа. Однако полученное уравнение неудобно считать каноническим уравнением: здесь новые переменные S и vj принимают комплексные значения в каждой точке области G. Поэтому, рассматривая уравнение (12) как промежуточное, сделаем еще одну замену переменных:
а = * + ті - 'і Jjzl1I
а 2 ' і 2 і •
Легко проверить, что в результате этой замены уравнение (12)
приведется к уравнению следующего вида:
««-I- «рр = *П<’ 'V и. a. P)- (12')
Здесь а и (э являются действительными функциями действительных переменных X и у:
, . ? (*. У) + ф* (*. у) . „ ф (х.у) — ф* (X, у)
2 * 21 ‘
370
Часть III
Уравнение (12'), получившееся в результате этой замены переменных, называется каноническим уравнением для уравнения эллиптического типа.
Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение
“«+ 4, + 4, = °- (13)
Здесь Д =ас — Ьг = 5 — 2й =1 >0; значит это уравнение является уравнением эллиптического типа.
Характеристическое уравнение
(dy)2 — Adxdy + 5 (dx)' - 0
разбивается на два:
у' = 2 -h і; у' = 2 — і.
Общими интегралами этих уравнений являются семейства:
у— (2 + 1) х = k\ у —(2 — і) х = k.
Согласно теории, делаем замену переменных:
« = JjLzA+0!fl + [y-ffg-0^1. = у — 2х;
R_ ІУ-(2+і)х]-Іу-(2-і)х} _ .,
P 21 х.
Выразим и", Uru, Uuu через производные по а и В:
ихх = 4. + Че + V 4B = -4.-'V
п п ^
“уу = “«Л
Подставляя в уравнение (13), получим, после сокращений:
«:.+«»=°- <|4>
Итак, уравнение (13) приведено к каноническому виду. Так как уравнение (14) является уравнением Лапласа, то его решением будет любая гармоническая функция переменных аир:
и =/(«, P)-
* Здесь снова использованы формулы (4,), (42), (43) нз § 1; роль новых переменных играют а и ,? (вместо 6 и *)).
RalaUamiMl
Г лава 5, § 3 371
Возвращаясь к старым переменным, получим
и = / (!/ — 2л:; —л).
Это общее решение уравнения (13). Оно получилось в результате подстановки в произвольную гармоническую функцию от двух переменных и (о., р) вместо о. — функции у — 2х, а вместо P — функции — Л*.
В частности, если в качестве и (a, (J) взять гармоническую функцию In (а* -|- [42), то мы получим частное решение уравнения (13):
м=1п ((у — 2 л)2 + л2].
§ 3. Решение уравнения колебания бесконечной струны методом характеристик (метод Даламбера)
