Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся к рассмотренному ранее уравнению колебания струны и попробуем решить его методом характеристик.
Пусть нам дана струна столь длинная, что ее практически можно считать бесконечной. Пусть на эту струну не действуют никакие внешние силы. Тогда закон колебания струны будет задаваться уравнением
«« - "Чл = о О
и начальными условиями:
u(xtt) =<?(л),
/—О
<2i)
и\ (X, () = <1 (л),
/=о
(?)
где 9 (л:) — начальное отклонение, а ф (л) — начальная скорость (ясно, что у(х) и ф(л:) должны быть заданы для всех х,
--OO < л:< +
Задавать граничные условия здесь не имеет смысла: струна бесконечна и, следовательно, не имеет границ.
372
Часть III
Уравнение колебания струны является уравнением гиперболического типа: здесь
Д = 1 • (—а*) — Oa - - а2 < 0.
Составим его характеристическое уравнение:
I • (dx)2 — a2 (dtf - 0.
Решая его, получаем два семейства характеристик:
x — at ^k; х \ at - k.
Следовательно, для приведения уравнения колебания струны к каноническому виду, надо сделать замену переменных:
Ь~х — at; ц = X-Vat.
Для того чтобы осуществить эту замену, надо выразить ихх и Utt через производные от и по 2 и ч\:
их — Ui Zx + Uyi Yj.v = Ui -f U1i;
Ut •= — аи^ + aui; ихх ^ иц -V 2Iiln + ищ;
Uii = а* их — 2а2 и^ + а3 ищ.
Подставляя в уравнение (1), получим после сокращений:
Ui т) =г"' 0 .
Итак, наше уравнение (1) приведено к каноническому виду. Для того чтобы решить это каноническое уравнение, перепишем его следующим образом:
[и'іУп = 0.
_ і
Так как производная от щ по Vj равна нулю, то Ui не зависит от У/; следовательно, щ может зависеть только от ;:
- № -
Глава 5, § З
373
Интегрируя по 5 полученное равенство, получим:
и - j / (S) d S С,
где С — величина, не зависящая от S; однако С может зависеть от Tj; поэтому обозначим C = F (yj), где F — совершенно произвольная функция одного переменного. С другой стороны, в силу произвольности функции /(5), ее неопределенный интеграл также является произвольной функцией от Б; обозначим его Ф(?).
Итак,
и = Ф (t)+ F(Ii), или, если вернуться к старым переменным:
и — ф (л: — at) 4-F (х -f at). (3)
Это — общее решение уравнения колебания струны. Для того чтобы определить функции Ф и F (и тем самым найти закон колебания данной струны), надо использовать начальные условия. Из условия (2^ следует:
?(*) = Ф(х) + F(x). (4)
Для того, чтобы применить условие (2а), продифференцируем обе части равенства (3) по /:
Ut (х, t) — Ф' (х at) • (— a) + F' (x-\-at) - а.
Здесь под Ф' подразумевается производная от функции одного
д Ф
переменного Ф (с) по своему аргументу. Чтобы найти , нам
пришлось продифференцировать Ф по S и результат умножить на It (т. е. на — а). Аналогичным образом мы поступили и при нахож-dF
ДЄНИИ -gp.
Подставим теперь / = 0 в полученное равенство; тогда будем иметь:
— а Ф' (х) + a Fr (х) = <|> (х).
Это равенство справедливо для всех х; интегрируя его в границах от 0 до х, получим:
х
—а ІФ (л-) — Ф (0) J - I- а \ F (ж) - F (0) | =-• J ф (х) dx,
0
или
X
— a<t>(x) + aF (х) -- j ф (г) dz -f- аС.
374
Часть III
Здесь постоянную величину F (0) — Ф(0) мы обозначили через С; кроме того, переменную интегрирования под знаком интеграла мы обозначили через z (чтобы не путать с верхней границей интеграции). Решая теперь полученное уравнение совместно с ранее найденным уравнением (4), найдем неизвестные функции Ф и F:
Ф(х) + F(x) ==*(*).
I *
—Ф (*) + P(X)=T і 'Iі (Z)йг + С,
' 0
х
Ф (*) = * (*) — Ta і ^ M dz ~ Г'
(5)
P(X) = -YtP(X) + \ y(z)dz + ~ .
Хотя здесь имеется еще некоторый элемент неопределенности (неизвестная константа С), но, как мы увидим, это не помешает нам однозначно найти функцию u(x,t).
Равенства (5) справедливы, каким бы ни было вещественное число х. Они остаются в силе и в том случае, если вместо х подставить, например, х — а/(ведь*—at также является вещественным числом при любых х и t, и поэтому равенства (5) остаются в силе, если в них подставить х — at вместо х). Поэтому
х - at
Ф(х — at) = -~9(* — at) — j ty(z)dz — (6)
Аналогично, если во второе из равенств (5) подставить вместо х величину х 4- at, получим:
х 4- ot
Р(х + at) =(х 4-a/) + j <i>(z)dz + -?. (7)
'o
Складывая почленно равенства (6) и (7) и учитывая равенство (3), получим окончательно искомую функцию и (х, /), дающую закон колебания данной струны:
Глава 5, § 4
375
или
и(Х,,) =- Т(*-°0+Ф(*.;МО + ^ * ]• + <г) d2. (8)
ж — at
Итак, постоянная С исключилась и закон колебания струны u(x,t) определился однозначно.
§4. Исследование закона колебания бесконечной струны
Функция (8) из предыдущего параграфа, дающая отклонение любой точки струны в любой момент /, может быть представлена в виде суммы двух слагаемых:
и [х, /) = Ф (л: — at) + F (х + at), (1)
где
х — at
<t>(x — at) = ^-(p(x-at)—-~; J ф (z) dz, (2)
о
X +^at
F(x + at) = ~<p{x + at) + -^ j ф(z)dz (3)
