Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Совершенно ясно, что чем более мелкими будут квадраты, на которые делят основной прямоугольник, тем с большей точностью получится результат.
Следует отметить, что метод сеток применяется не только тогда, когда область ограничена прямоугольным контуром, но и тогда, когда контур области имеет произвольную форму.
Метод сеток применяется также для решения пространственной задачи Дирихле. В этом случае область, в которой ищется гармоническая функция, разбивается на элементарные кубы, после чего система уравнений для вычисления значений функции в вершинах этих кубов составляется и решается так же, как и в случае плоской задачи Дирихле.
346
Часть ///
§ 2, Функция Грина. Решение задачи Дирихле для шара
В настоящем параграфе будет изложен один важный метод решения задачи Дирихле. Суть его заключается в том, что мы строим внутри области V некоторую фиксированную гармоническую функцию G1, а затем с ее помощью решаем задачу Дирихле в той же области V при любых заданных граничных условиях. Иначе говоря, построение любой гармонической внутри V функции сводится к построению некоторой, вполне определенной, гармонической функции внутри V.
Определим эту функцию.
Пусть V — связная замкнутая ограниченная область, a M0— какая-либо фиксированная точка внутри V. Обозначим через G1 (М, M0) следующую функцию от точки М:
а) G1 (М, M0) является гармонической функцией от M всюду внутри области V;
б) G1 (М, M0) непрерывна (как функция от М) во всей замкнутой области V;
в) G1 (М, M0) = во всех точках M, лежащих на границе области V.
Можно доказать, что для любой области V, граница которой является гладкой или кусочно-гладкой поверхностью, такая функция G1 (М, M0) существует. Из последней теоремы, доказанной в предыдущем параграфе, вытекает, что такая функция единственна.
Итак, функция G1 (М, M0) определена однозначно. Если для данной области V нам удалось построить функцию G1, то с ее помощью можно будет найти гармоническую внутри V функцию, удовлетворяющую на границе V любым, наперед заданным условиям. Покажем, как это делается.
Пусть q (M)- какая-либо функция, гармоническая внутри V и непрерывная во всей замкнутой области V. Применим к функциям q(M) и G1 (М, M0) вторую формулу Грина (см. § 1, форму-
A Z4
ЛУ (4))- Так как внутри V имеет место: /я ч 0=0, . л 4Gi=0. то в данном случае формула (4) запишется следующим образом:
о)
S
^afa!/aas#i%
Глава 4, § 2____________________________________________ 347
где S — граница области V. Далее, из формулы (6), § 1, вытекает:
^rL IdS = ^(Af0), (2)
где г — расстояние от переменной точки на поверхности 5 до точки M0.
Умножив обе части равенства (1) на ~ и сложив почленно с равенством (2), получим:
Я (M0) 4Л
dG і \г J I дд
дп дп I дп
Ho на поверхности S функции G1 и — равны друг другу. Поэтому вторая скобка под знаком интеграла содержит выражение, равное нулю всюду на поверхности S. У читателя может появиться искушение приравнять пулю и первую скобку, но это
неверно: из того, что значения функций G1 и совпадают на
поверхности S, еще не следует, что равны друг другу их нормальные производные.
Итак, последнюю формулу можно переписать следующим образом:
? (Mo) - і ([<? (M) ^(O1-I)dS. (3)
's
Разность у — G1 (М, M0) называется функцией Грина для области V и обозначается G(M, M0):
а (м, м0) = і - G1 (м, м0).
С помощью функции Грина равенство (3) приводится к следующему виду:
Ч (Ag = - V JJ Я (M) Jj G (М, M0) dS. (4)
6
Формула (4) полностью решает задачу Дирихле: если известны граничные значения гармонической функции q (M) на поверхности S и если известна функция Грина G(M, M0) для области V,
348
Часть III
то с помощью формулы (4) можно вычислить значения искомой гармонической функции q(M) в любой внутренней точке M0.
Заметим, что функция Грина G(M, M0) не является гармонической в области V. Ее лапласиан равен нулю всюду в области V, кроме точки M0; в этой точке функция G терпит разрыв. Однако этот разрыв не мешает вычислению интеграла (4): всюду на поверхности S функция G(M, M0) непрерывна (ведь точка M0 лежит строго внутри области V).
Итак, для решения задачи Дирихле в области V надо сначала построить функцию Грина для этой области. Задача построения функции Грина в общем случае является очень трудной задачей; однако для некоторых простых областей найти функцию Грина сравнительно легко. Построим сейчас функцию Грина для того случая, когда областью V является шар, и затем с помощью этой функции решим задачу Дирихле для шара.
Функция Грина для шара. Рассмотрим шар V радиуса R с центром О в начале координат. Пусть M0 — какая-либо фиксированная точка внутри шара. Построим гармоническую функцию G1 (М, M0), непрерывную в этом шаре и принимающую значения
на его поверхности.
Если M0 — центр шара, то такую функцию легко построить: это константа
G1(M1M0) = -Ir <5>
Функция G1 = ^ является гармонической и непрерывной; она
принимает во всех точках M на поверхности 5 значения, равные
