Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
равно AS1, а образующая направлена по вектору А (в точке M1)
и численно равна \А | At:
Vi,д/ — I A I-Af-ASi-Costy,
где ty— угол между вектором бинормалью п (рис. 17)*; учитывая, что j AI • costy— (Ап)м{, можно записать:
Vi,m — (A n)Mi'ASt At.
Для того чтобы подсчитать количество жидкости ^,протекшей через площадку AS1 за единицу времени, разобьем мысленно эту единицу времени на мелкие части AtuAt2,..., Atm. Тогда количество жидкости за всю единицу времени равно объему, протекшему за время Atu плюс объем, протекший за время At2 и т. д.
V1-- (у4 п)м{А SlAtl +
“I” (Д я)лі і A St A t2 -f- ... +
+ ASj A
(An)MiASt(At j -f- А /2 -+-... -f- А <л) = (А гі)мі A S1.
* Мы считаем, что угол ty— острый, т. е. что вектор поля направлен н ту же сторону, что и нормаль к поверхности. Если бы угол ty был тупым, т <*. если бы нормаль была направлена в обратную сторону, то это отразилось бы на знаке произведения.
Рис. 17
32
Часть /
Итак, количество жидкости, протекшей за единицу времени через площадку AS1, равно (А п)Мі Д5,; следовательно, количество жидкости, протекшее за единицу времени через всю поверхность St равно
я
(А П)щ A,SjI
ь»і
п
V H (А п) A S1. (2)
/-1
Это равенство является приближенным: при его выводе мы считали площадки AS1—плоскими, а вектор п—постоянным на каждой площадке AS1. Равенство (2) становится тем точнее, чем меньше диаметры площадок AS1', в пределе (при diam AS1 -> 0) оно переходит в точное:
У=Я(Ял) dS.
Итак, в случае гидродинамической интерпретации векторного поля, поток через ориентированную поверхность S равен количеству жидкости, протекшей за единицу времени через эту поверхность (в направлении от отрицательной к положительной' стороне поверхности). Заметим, что если жидкость протекает в противоположном направлении ориентированной поверхности St то поток будет отрицателен. Наконец, может оказаться, что через часть поверхности S жидкость течет в одном направлении, а через другую часть—в противоположном. Тогда поток векторного поля через всю поверхность равен алгебраической сумме потоков через части этой поверхности.
Рассмотрим особо случай замкнутой поверхности 5. Если в этом случае поток через 5 положителен, то это означает, что из той части пространства, которая ограничена поверхностью St вытекает больше жидкости, чем втекает в нее. В этом случае говорят, что внутри S имеются источники, постоянно выделяющие жидкость. Напротив, если поток отрицателен, то внутрь S вте-, кает больше жидкости, чем вытекает из нее. В этом случае говорят, что внутри S имеются стоки, поглощающие жидкость.
Пример 1. Дано векторное поле А = (х -f y)i -f (у — х) } -f-
-f z k. Вычислить поток этого поля через поверхность сферы радиуса 1 с центром в начале координат.
Решение. В данном случае нормаль к поверхности в каж» дой точке направлена по радиус-вектору этой точки. Поэтому единичный вектор нормали легко вычислить по следующей формуле:
SS
33
П = 4- = + W +А
Ul Vxt -I- /Z8-I-Za
так как l/x8 + ^8-J-Z8 = 1 для любой точки, лежащей на поверхности данной сферы. Итак,
(А п)=(х + у)х -I- (х —у) у+ zz = х2 4- уг + г8.
Поэтому поток равен:
Jj (Jп) dS = J J (хг I- (/! I- г=) dS = J11 dS = S = 4 г.
Здесь мы воспользовались тем, что всюду на поверхности сферы имеет место равенство хг + У2 + Z2 = 1.
Пример 2. Вычислить поток поля сил тяготения A =-------------
через сферу радиуса а с центром в начале координат.
_ ъ
Решение. Здесь п — -^r-; следовательно,
Ui
(*») = (-Ш ¦ *т) ~ - Si ¦ Л* “ - ^
Rla
Л|" |Л|/ I*
Поэтому И» JJ(*S)dS- Jj(_JJ)dS—$ JjdS =
— 4тша ~ — 477-(-/77.
§ 8. Дивергенция векторного поля
Поток векторного поля через замкнутую поверхность S иногда называют производительностью той части пространства V, которая ограничена поверхностью S. Это объясняется тем, что если данное векторное поле рассматривать как поле скоростей движущейся жидкости, то поток через S равен количеству жидкости, «произведенной» внутри V.
Взяв отношение потока через S к величине объема V, получим среднюю производительность области V. Однако средняя производительность еще недостаточно характеризует интенсивность иокторного поля в окрестности каждой точки данной области: одни участки области могут оказаться гораздо интенсивнее, «производительнее» других. Поэтому для того чтобы оценить
2 Ю. С. Очан
34
Часть t
производительность вблизи какой-либо точки Mt лежащей внутри области Vt мы должны вычислять среднюю производительность во все меньших и меньших областях, окружающих точку М. Переходя к пределу (при стягивании области к точке М), получим число, достаточно хорошо характеризующее «производительность» векторного поля в окрестности точки М. Это число называется дивергенцией поля в точке М.
Дивергенцией векторного поля А в точке M называется предел, к которому стремится отношение потока через замкнутую поверхностьt окружающую точку М, к объему области, ограниченной этой поверхностью. Предел берется при стягивании поверхности к точке M:
