Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим в заключение, что частным случаем производных
по направлению являются частные производные: -4^ — производная по направлению вектора і (т. е. по направлению оси Ох),
ди да
7^----производная по направлению вектора у, -----------производ-
ная по направлению вектора k.
12
Часть I
§3. Градиент скалярного поля
Рассмотрим скалярное поле
u = f(x, у, г)
и найдем производную от и в направлении вектора т, где т = = ai + bj + ck. Для этого сначала найдем направляющие косинусы вектора г:
о „о Ь „ с
cos а — ¦ ¦ --------; cos р = —---------------------------; cos 7 =- — .
Уа* + Ь*-\-сг Ya*+ Ь2 +с* Vai -±- Ьа 4- с*
Следовательно,
ди . ди . , ди
ди д* ' ду дг _ ^
У с» + Ь* H- с*
В числителе этой дроби стоит скалярное произведение двух
векторов: вектора т и вектора, составляющие которого равны
ди ди ди -
частным производным скалярного поля , , в данной
точке М. Обозначим этот вектор символом grad и (читается:
градиент и)', тогда по определению имеем
, ди Г . ди - ди т /ftv
^rad “ =TiTt +-?-/+-аг*• <2>
Следовательно,
du _ grad и • т дт I т I
Учитывая, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их численных значений на косинус угла между ними, мы можем переписать последнее равенство следующим образом:
ди_ = ler.duI -HI • CosjjM;;._Л = Igraduj. cos(gradii^). (3)
дт
где правая часть равенства есть проекция градиента на направление т.
Итак, производная в направлении т равна проекции градиента на это направление. Отсюда ясно, что производная в точ*
§3
13
ке M будет наибольшей в направлении градиента, и в этом случае она равна численному значению градиента. Таким образом, нами вскрыт смысл градиента: это — вектор, в направлении которого функция будет расти с наибольшей скоростью.
Заметим, что в направлении, прямо противоположном направлению градиента, функция будет быстрее всего убывать.
Градиент имеет вполне определенное значение (по величине
и по направлению) в каждой точке данного поля. Следовательно,
сам градиент образует новое поле, но уже векторное.
х* fit
Пример. Дано скалярное поле и = . В каком направ-
лении функция будет возрастать быстрее всего, если исходить из точки AJ (1; 2; 1)?
Решение. Найдем сначала градиент в произвольной точке:
ди г , ди — , ди т 3х%у% j , 2х3у у хъуг —
gradu = -57( + -ятг/ + TiT* =
ду
дг
¦I +
J-
Затем найдем gradw в точке M:
grad и \м = 12i + 4/ — 4А.
Это и будет то направление, в котором функция растет быстрее всего (если исходить из точки М). Производная в направлении
( ди\
градиента, т. е. I--=-1 , равна модулю градиента:
\ Oi /шах
(¦frLi = K122+ 41+ (—4)2 = УШ » 13,3.
Теорема. Пусть градиент функции и = / (лг, у, г) в точке M отличен от нуля. Тогда он перпендикулярен к любой линии, проходящей через точку M и лежащей на поверхности уровня*.
Доказательство. Проведем через точку M линию /, лежащую на поверхности уровня (рис. 6). Так как функция не изменяет своего значения, когда точка движется по кривой /, то = 0. Ho произ-
а/
водная по дуге равна производной по направлению вектора
* Говоря, что вектор перпендикулярен к линии в точке М, мы подразумеваем, что он перпендикулярен к ее касательной, проведенной в точке М.
14
Часть /
касательной т; поэтому -?: также равна нулю. Воспользуемся
Bi
теперь формулой (3):
ди
-^-=IgradM I -cos (grad и, т).
дт
ди
Так как -=-= О и grad и ФО (по условию), то cos(x, grad«)=0,
дх
т. е. угол между векторами т и grad и равен 90°. Теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает, что все касательные, проведенные в точке M к кривым, лежащим на поверхности уровня, расположены в одной плоскости (если grad и Ф 0 в точке М).
Действительно, все эти касательные проходят через точку M и перпендикулярны одному и тому же вектору — градиенту и. Значит, они все лежат в одной плоскости.
Геометрическое место касательных, проведенных в точке M к линиям, лежащим на поверхности уровня, называется касательной плоскостью к этой поверхности в точке М. Уравнение этой плоскости легко написать. Если точка M имеет координаты х0, у0, Z0, то вектор, перпендикулярный касательной плоскости,— градиент — запишется следующим образом:
grad “ і» - №L,.‘+(¦?)*.,.. J+(?.. *. * * •
Зная точку, через которую проходит искомая плоскость, и зная вектор, перпендикулярный плоскости, можно написать уравнение касательной плоскости:
(¦?) (*-*>+(¦?-) to-Л)+ (-S-) (2-?)=0-
\ Jxо, Уо, Z0 \ иУ Ix0, Уо, Zo \ uz /Xо, и0. *0
(4)
До сих пор мы рассматривали касательную плоскость только к поверхности уровня. Если же нам дана произвольная поверхность уравнением / (лг, у, г) = 0, то ее можно считать поверхностью уровня для функции и ~ f (х, у, г), и, следовательно, уравнение касательной плоскости к этой поверхности получится также по формуле (4).
Пример 1. Написать уравнение касательной плоскости к параболоиду z ~ X2 у2 в точке M (2; 1; 5).
Решение. Заданную поверхность можно рассматривать, как поверхность уровня для функции и = z — X2 — у2 (действительно, геометрическое место тех точек, где и = О совпадает с