Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Очан Ю.С. -> "Методы математической физики" -> 4

Методы математической физики - Очан Ю.С.

Очан Ю.С. Методы математической физики — М.: Высшая школа, 1965. — 384 c.
Скачать (прямая ссылка): metodimatematfiziki1965.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 110 >> Следующая


Заметим в заключение, что частным случаем производных

по направлению являются частные производные: -4^ — производная по направлению вектора і (т. е. по направлению оси Ох),

ди да

7^----производная по направлению вектора у, -----------производ-

ная по направлению вектора k.
12

Часть I

§3. Градиент скалярного поля

Рассмотрим скалярное поле

u = f(x, у, г)

и найдем производную от и в направлении вектора т, где т = = ai + bj + ck. Для этого сначала найдем направляющие косинусы вектора г:

о „о Ь „ с

cos а — ¦ ¦ --------; cos р = —---------------------------; cos 7 =- — .

Уа* + Ь*-\-сг Ya*+ Ь2 +с* Vai -±- Ьа 4- с*

Следовательно,

ди . ди . , ди

ди д* ' ду дг _ ^

У с» + Ь* H- с*

В числителе этой дроби стоит скалярное произведение двух

векторов: вектора т и вектора, составляющие которого равны

ди ди ди -

частным производным скалярного поля , , в данной

точке М. Обозначим этот вектор символом grad и (читается:

градиент и)', тогда по определению имеем

, ди Г . ди - ди т /ftv

^rad “ =TiTt +-?-/+-аг*• <2>

Следовательно,

du _ grad и • т дт I т I

Учитывая, что скалярное произведение двух векторов равно произведению их численных значений на косинус угла между ними, мы можем переписать последнее равенство следующим образом:

ди_ = ler.duI -HI • CosjjM;;._Л = Igraduj. cos(gradii^). (3)

дт

где правая часть равенства есть проекция градиента на направление т.

Итак, производная в направлении т равна проекции градиента на это направление. Отсюда ясно, что производная в точ*
§3

13

ке M будет наибольшей в направлении градиента, и в этом случае она равна численному значению градиента. Таким образом, нами вскрыт смысл градиента: это — вектор, в направлении которого функция будет расти с наибольшей скоростью.

Заметим, что в направлении, прямо противоположном направлению градиента, функция будет быстрее всего убывать.

Градиент имеет вполне определенное значение (по величине

и по направлению) в каждой точке данного поля. Следовательно,

сам градиент образует новое поле, но уже векторное.

х* fit

Пример. Дано скалярное поле и = . В каком направ-

лении функция будет возрастать быстрее всего, если исходить из точки AJ (1; 2; 1)?

Решение. Найдем сначала градиент в произвольной точке:

ди г , ди — , ди т 3х%у% j , 2х3у у хъуг —

gradu = -57( + -ятг/ + TiT* =

ду

дг

¦I +

J-

Затем найдем gradw в точке M:

grad и \м = 12i + 4/ — 4А.

Это и будет то направление, в котором функция растет быстрее всего (если исходить из точки М). Производная в направлении

( ди\

градиента, т. е. I--=-1 , равна модулю градиента:

\ Oi /шах

(¦frLi = K122+ 41+ (—4)2 = УШ » 13,3.

Теорема. Пусть градиент функции и = / (лг, у, г) в точке M отличен от нуля. Тогда он перпендикулярен к любой линии, проходящей через точку M и лежащей на поверхности уровня*.

Доказательство. Проведем через точку M линию /, лежащую на поверхности уровня (рис. 6). Так как функция не изменяет своего значения, когда точка движется по кривой /, то = 0. Ho произ-

а/

водная по дуге равна производной по направлению вектора

* Говоря, что вектор перпендикулярен к линии в точке М, мы подразумеваем, что он перпендикулярен к ее касательной, проведенной в точке М.
14

Часть /

касательной т; поэтому -?: также равна нулю. Воспользуемся

Bi

теперь формулой (3):

ди

-^-=IgradM I -cos (grad и, т).

дт

ди

Так как -=-= О и grad и ФО (по условию), то cos(x, grad«)=0,

дх

т. е. угол между векторами т и grad и равен 90°. Теорема доказана.

Из этой теоремы вытекает, что все касательные, проведенные в точке M к кривым, лежащим на поверхности уровня, расположены в одной плоскости (если grad и Ф 0 в точке М).

Действительно, все эти касательные проходят через точку M и перпендикулярны одному и тому же вектору — градиенту и. Значит, они все лежат в одной плоскости.

Геометрическое место касательных, проведенных в точке M к линиям, лежащим на поверхности уровня, называется касательной плоскостью к этой поверхности в точке М. Уравнение этой плоскости легко написать. Если точка M имеет координаты х0, у0, Z0, то вектор, перпендикулярный касательной плоскости,— градиент — запишется следующим образом:

grad “ і» - №L,.‘+(¦?)*.,.. J+(?.. *. * * •

Зная точку, через которую проходит искомая плоскость, и зная вектор, перпендикулярный плоскости, можно написать уравнение касательной плоскости:

(¦?) (*-*>+(¦?-) to-Л)+ (-S-) (2-?)=0-

\ Jxо, Уо, Z0 \ иУ Ix0, Уо, Zo \ uz /Xо, и0. *0

(4)

До сих пор мы рассматривали касательную плоскость только к поверхности уровня. Если же нам дана произвольная поверхность уравнением / (лг, у, г) = 0, то ее можно считать поверхностью уровня для функции и ~ f (х, у, г), и, следовательно, уравнение касательной плоскости к этой поверхности получится также по формуле (4).

Пример 1. Написать уравнение касательной плоскости к параболоиду z ~ X2 у2 в точке M (2; 1; 5).

Решение. Заданную поверхность можно рассматривать, как поверхность уровня для функции и = z — X2 — у2 (действительно, геометрическое место тех точек, где и = О совпадает с
Предыдущая << 1 .. 2 3 < 4 > 5 6 7 8 9 10 .. 110 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed