Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
J J J div A dV = J J [A n) dS; JJJ div AdV= JJ (ЛЯ) dS.
Vt St V2 S2
Поверхность S1 состоит из двух кусков: S0 — общая граница
областей V1 и V2 и S1' — остальная часть поверхности S1; аналогично разбивается поверхность S2 (на S0 и S2'). Поэтому
Puc. 19
JJ [An) ^S = JJ [An) dS + JJ [An) dS, s‘
JJ [An) dS = JJ [An) dS + JJ [An) dS.
Se so s'2
(2)
(3)
38
Частці
Интегралы по поверхности S0 в равенствах (2) и (3) берутся в разных направлениях (чтобы подчеркнуть это, мы обозначили один из этих интегралов через Jj, а другой — через JJ); эти
sO sO
интегралы равны друг другу по модулю, но противоположны по знаку, поэтому при сложении они взаимно уничтожатся. Итак, окончательно
JjjdivAdV = JJJ divAdV + JJJdivAV = Jf (/*)<» +
+ JJ (Яп)<В = JJ (Лп)<В + J J (Л n) dS + JJ (2n)dS +
4
+ JJ (dn)dS=* JJ (i4n)dS +JJ(^n) dS* JJ (Ли) dS.
Здесь мы учли, что поверхности Si и S2 в сумме составляют всю поверхность S, ограничивающую область V.
Итак, формула
JJJdiv^dV'=Jj(Xn)dS
доказана для произвольной области, ограниченной одной поверхностью. '
б) Теорема Гаусса-Остроградского допускает еще и дальнейшее обобщение. Пусть область V ограничена несколькими поверхностями— одной внешней поверхностью S0 и несколькими по-
So
Рис. 21
§8
39
верхностями S1, S2,..., Sn, ограничивающими область V изнутри (рис. 20). Покажем, что теорема Гаусса-Остроградского остается в силе и в этом случае.
Будем счисть, для определенности, что область V ограничена снаружи одной поверхностью S0 и изнутри — тоже одной поверхностью S1 (рис. 21). Рассечем область V поверхностью 2 на две области V1 и V2. При этом область V1 ограничена одной
замкнутой поверхностью, составленной из поверхности So (часть поверхности S0), поверхности* Si (часть поверхности S1) и поверхности 2. Область V2 ограничена также одной замкнутой поверхностью, составленной из So, Si и 2. Применяя формулу Гаусса-Остроградского отдельно к V1 и V2 получим:
JJf div AdV = JJ (An) dS -f- JJ (An) dS -f- JJ (An) dSt (4)
Vt с' ~ S+
Sq Si
JJJ divAdV = JJ (An) dS + JJ (Л/i) dS -J- JJ (An) dS. (5)
Vt * S-
S0 SI
Интегралы по поверхности 2 в равенствах (4) и (5) берутся при различной ориентации поверхности 2, поэтому они равны по модулю, но противоположны по знаку. Складывая почленно равенства (4) и (5) и учитывая, что интегралы по поверхности 2 сокращаются, получим:
JJ div AiK = JJ(AH) «Iff+JJ(AH)<iS,
V Sq Si
где оба потока (по S0 и по S1) берутся в направлении внешней нормали к области V; заметим, что внешняя нормаль к области
V на поверхности S1 направлена внутрь самой поверхности S1.
Обобщая полученный результат на произвольную область V, ограниченную снаружи поверхностью S0, а изнутри каким угодно числом поверхностей S1, S2, —, Snt можно так переписать формулу Гаусса-Остроградского:
JjfdivAiV =
=JJ (j4 я) dS + JJ (А л) dS + JJ (A /?) dS + ... + JJ (Л /i) dS.
S0 Si St sn
При этом следует помнить о том, что при вычислении потоков по всем поверхностям S0, S1,..., Sn следует брать направление
40
Часть I
нормали, внешней по отношению к области V (для поверхностей S1, S2,..., Sn эта нормаль направлена во внутрь соответствующих поверхностей).
§ 9. Соленоадальные поля
Если во всех точках некоторой области G дивергенция векторного поля (заданного в области G) равна нулю, то говорят, что поле соленоидально в этой области.
Пример. Поле тяготения F = —соленоидально в любой об-
1Я|3
ласти Gt не включающей начала координат. Действительно,
F___________TgfE______ J_______Ш________ . 7._______________Ъ
JL JL JL
(*2+t/2+Z2)2 (xa+t/2+Z2) 2 (X2+t/2+Z2)2
непосредственным вычислением устанавливается, что
ClivjF = O
в любой точке, отличной от начала координат. С другой стороны, дивергенция в начале координат бесконечна. Это можно установить, если воспользоваться определением дивергенции: поток через сферическую поверхность радиуса а равен — 4irfm; отношение потока к объему шара, заключенного внутри этой
поверхности, равно Переходя к пределу при
"F7iq3
а~> 0, найдем дивергенцию в точке (0; 0; 0):
(div F )0, о. о= =—оо.
а-* 0 и
Пусть область G такова, что любая замкнутая поверхность St лежащая в этой области, содержит внутри себя только точки области G.
Таким свойством обладает, в частности, все пространство; этим свойством обладает внутренность шара, внутренность эллипсоида и т. д. Однако этим свойством не обладает, например, область Gt представляющая собой все пространство с одной выколотой точкой: сферическая поверхность S с центром в этой точке принадлежит области G1 однако не все точки, лежащие внутри поверхности St принадлежат области G.
§10
41
Если область G обладает указанным свойством, то для того, чтобы векторное поле, заданное в G, было соленоидальным, необходимо и достаточно, чтобы поток через любую замкнутую поверхность, принадлежащую к G, равнялся нулю.
Достаточность этого условия вытекает из самого определения дивергенции, а необходимость — из теоремы Гаусса-Остроградского.