Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
§З
15
поверхностьюг— х2_—у2 = 0, или г = *2 + #2). Так как grad и= = —2jи — 2yj + I • k, то _ _
grad и |д, = —4і — 27+ k,
а уравнение касательной плоскости к данному параболоиду в точке M примет вид:
—4 (х — 2) — 2 (у — I) + I -(2-5) = 0, или, после упрощений:
—4х — 2 у + 2 + 5 = 0.
Пример 2. Имеет ли коническая поверхность л:2+*/2— г2=0 касательную плоскость в точке M (0; 0; 0)?
Решение. Эта поверхность служит поверхностью уровня для функции и =zx2 + у2 — 22. Заметим, что grad и \м =
= 0. Следовательно, ни теорема, ни следствие из нее к данному случаю неприменимы: нельзя утверждать, что все касательные, проведенные в точке M к линиям, лежащим на этой поверхности, образуют плоскость. И действительно, геометрическое место этих касательных совпадает с самой конической поверхностью. Значит, коническая поверхность не имеет касательной плоскости в вершине (рис. 7).
Приведенный пример показывает, что далеко не всякая поверхность имеет касательную плоскость.
Если поверхность 5 имеет во всех своих точках касательную плоскость и эта плоскость изменяется непрерывным образом при перемещении точки по поверхности, то поверхность называется гладкой. Точнее говоря, для гладкой поверхности двугранный угол между касательными плоскостями в точках M и M' стремится к нулю при стремлении точки M' к M (по любому пути, лежащему на этой поверхности).
Если поверхность задана уравнением F (х, у, г) = 0, то для ее гладкости достаточно, чтобы во всех ее точках существовали
непрерывные частные производные
DF
дР
DF
, не обращаю-
дх ’ ду ’ дг
щиеся одновременно в нуль; это следует из того, что уравнение касательной плоскости в точке М(х0, у0, Z0) таково:
(?(* -ч)+(?, (у - +тм -*>=°-
Если поверхность S может быть разбита простыми дугами
16
Часть I
на конечное число гладких поверхностей, то S называется кусочно-гладкой поверхностью.
Так, например, сфера, параболоид, плоскость являются гладкими поверхностями. Поверхность куба, поверхность конечного кругового цилиндра — кусочно-гладкие поверхности.
Вернемся теперь к градиенту функции трех переменных. Доказанная выше теорема утверждает, что градиент перпендикулярен к касательной плоскости поверхности уровня. Этого и следовало ожидать: функция трех переменных будет возрастать быстрее всего, если от точки M двигаться по нормали* к поверхности уровня. Докажем теорему, которая является в некотором смысле обратной к этой теореме.
Теорема. Если S — гладкая связная** поверхность, и f (х,у, г)—функция с непрерывными частными производными такая, что grad / перпендикулярен к S во всех точках S, то S является поверхностью уровня для f (х, у, г).
Доказательство. Зафиксируем на S некоторую точку А и докажем, что
f(M) = f(A)
для любой точки M на поверхности 5. Соединим точки M и А спрямляемой гладкой дугой L, лежащей на S (это возможно в силу связности и гладкости S). Так как grad / перпендикулярен к поверхности S, то он, в частности, всюду перпендикулярен к касательному , вектору дуги L. Ho тогда -Щ- = 0 всюду на L.
Запишем параметрические уравнения кривой L, приняв в качестве параметра длину дуги /, отсчитываемую от точки А: X = X(I)t У — У(0» z = z(l). Тогда началу дуги соответствует значение параметра / = 0, концу дуги — значение I-I1 (где I1 — длина всей дуги L). Подставив в функцию / (х, у, г) вместо Xt у, z их выражения через /, мы получим функцию одного переменного /, т. е. /[*(/), у (I)1 Z(I)Y, обозначим ее для краткости <р (/); тогда
f(M)-f(A) = 9(l1)-9(0y,
применив к последней разности теорему Лагранжа, получим
/ (M) - / (А) = ф (I1) - 9 (0) = (I1 - 0) <*>' (Icp),
где 0 ^ Icр ^ ^
Ho производная от (/) совпадает с производной от /(*, у, г) по дуге L (что вытекает из определения производной
* Нормалью к поверхности в точке Af называется перпендикуляр к касательной плоскости, проведенной в этой точке.
** Поверхность S называется связной, если любые две точки поверхности S можно соединить непрерывной спрямляемой линией, целиком лежащей на этой поверхности.
ішшшихш;
знание без зрении
17
по дуге). Мы доказали раньше, что == 0; следовательно, и
/ (/) = 0; в частности, 9' (Zcp) = O, откуда f{M) — f (A) = O, или f(M) = f(A). Так как это равенство справедливо для любой точки M на S, то функция f(x, у, г) всюду равна f(A), т. е. постоянна. А это и означает, что 5 является поверхностью уровня для функции /(xt у, г).
В заключение сформулируем некоторые свойства градиента:
1) градиент постоянной функции равен нулю;
2) градиент суммы двух функций равен сумме их градиентов:
grad (и + v) — grad и + grad v;
3) градиент произведения двух функций вычисляется по формуле
grad uv = и*grad v -f- о*grad.u;
4) градиент частного от деления двух функций вычисляется по формуле
, и tf-grad и—u-grado . ~
grad — =—^^---------------, если ифО.
Для доказательства всех этих утверждений достаточно воспользоваться определением градиента.
§ 4. Интеграл по поверхности
Для рассмотрения векторного поля нам понадобится одно новое понятие — понятие интеграла по поверхности. В настоящем параграфе будет определен и изучен интеграл по поверхности.
