Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
I jT dV==№ ^ У' C0S Т dS “ У. z) cos (180° —т)dS-
V -s* st
= JJ R (*’ У> *) cos TdS+ JJtf (х, уъ z) cos у dS.
St Si
ШЫШаиэф.
§ б
25
Учитывая теперь, что S1 и Sa вместе составляют всю поверхность St получим:
JJj Д? dV = Jj R cos т dS. (2)
# S
Аналогично равенству (2), могут быть выведены следующие равенства:
Jjj-^dv=Jjpcosads' (3>
V S
Cjj dl/=JjQcospdS. (4)
V S
Складывая почленно равенства (2), (3), (4), получим
JTI [^+ + II[Рcosa +Qcos$+ RzosIl dS‘
V S
Это и есть формула Гаусса * Остроградского, которую нам требовалось вывести.
§ 6. Векторное поле. Векторные линии. Векторные трубки
Перейдем к изучению векторного поля. В § 1 были даны определение и примеры векторных полей. Напомним эти примеры.
1. Поле сил тяготения, образованное притягивающей материальной точкой массы т, расположенной в начале координат. В данном случае мы имеем векторное поле Ft где F — вектор силы, с которой единичная масса в точке С (xty,z) притягивается к началу координат. Мы знаем, что
F - ~ |7?13 -
7 тх 7 -\ту J Imz ь
--------------1Г----------------J-1 J *•
(х*+?1+**) 2 (**+0*+**) 2 (**^*^.2*) 2
Здесь R = xi yi + Zk.
2. Поле скоростей в стационарном течении жидкости.
3. Если и = f(x, у, г) — скалярное поле, то А = grad и образует векторное поле.
26
Часть /
Одним из важных понятий, связанных с векторным полем, является понятие векторной линии.
Векторной линией стационарного векторного поля называется такая линия, у которой касательная в каждой точке направлена вдоль заданного в этой точке вектора поля (рис. 13J.
Приведем примеры векторных линий.
1. Если векторное поле является полем сил тяготения, рассмотренным выше (CM. пример 1), то векторными линиями являются лучи, сходящиеся к началу координат (заметим, что если заданное поле является полем сил, то векторные линии этого поля называются силовыми линиями).
2. В поле скоростей при стационарном течении жидкости векторными линиями являются траектории движущихся частиц жидкости.
3. В поле градиента A =gradw векторная линия — это та линия, при движении вдоль которой скалярная величина и растет с наибольшей скоростью (так как скорость рссга функции в каждой данной точке будет наибольшей в направлении градиента). Эта линия называется линией наибыстрейшего возрастания функции и.
Для того чтобы найти векторную линию поля
A=P (х,у,г)Т+ Q(x,y,z) T+R (x,y,z) k,
поступают следующим образом. Пусть параметрические уравнения искомой векторной линии таковы: x = x(t),y =y(t), z~z(t). Тогда вектор касательной в произвольной точке этой линии имеет вид:
— dx—. . by — , dz-r
T = -di‘+w>+nrk-
В силу определения векторной линии, этот вектор колинеарен вектору поля в точке (х, у, z). Поэтому одноименные проекции этих векторов пропорциональны:
dx йу_ dz
Tt _ dt __ dt Пч
P(x,y,z) Q(x,y,z) R(x,y.z) * ' '
Обозначим численную величину этих отношений одной буквой Ф. Заметим, что численное значение этих отношений может зави-
RalaUamtMl
знаииевезераниц
#6 27
сеть от координат точки х, у, г, а также от значения параметра
І в этой точке. Поэтому, вообще говоря, Ф зависит от х, у, Z, t. Зависимость Ф от x,y,z,t может быть выбрана совершенно произвольно. Приравнивая каждое из отношений (3) к произвольно заданной функции Ф (*, у, г, /), получим систему трех уравнений с тремя неизвестными функциями x(t),y(t),z(t)\
^ Ф (х, у, z, /) P (Xt у, z); Ф (х, I/, 2, /) Q (х, у, г)\
~ Ф(х, у, г, /) R (xt //, z). (4)
Решив эту систему, мы найдем искомые функции X (/), у (О, Z (t). Гот факт, что функция Ф выбрана произвольно, не отразится на окончательном результате. Замена функции Ф какой-либо другой функцией приведет только к изменению тех параметрических уравнений, которые задают искомую векторную линию.
Пример 1. Найти векторные линии поля тяготения, образованного материальной точкой, находящейся в начале координат.
Решение. Tак как в этом поле P Vnx і 7ту .- ynz
_3 3 1 АК'
+-2а) 2 (Xі Н0Ч**) 2 (**+«Г-f га) 2
(ем. первый пример в начале этого параграфа), то уравнения векторных линий найдутся из пропорции
dx dy dz
dt ~dt df
•утл ____іту _ ^mz
з ^
(Xi-Yyi-Izi)I (ла fi/a-.fza) 2 (*2 І */Ч-г8) 2
Приравняем эти отношения к функции Ф (x,y,z,t) ~
_з
---—------- (функцию Ф (х, у, z, t) выбираем так, чтобы после
сокращений система уравнений получилась по возможности Co-кч* простой):
dx dy dz
dt dt dt
___^mx ’ -\ту ymz
j з _з
(»2 і У*Л Z-) 2 (*Н Ifi I-г») 2 (Xі I yi [ Za) 2
28
Часть /
{x2-\-y2+z2) 2 ¦\mt *
откуда — JL- ЁМ-_____L- — JL
dt t • dt t ' dt t
Интегрируя эту систему уравнений, получим
X = Cxt; у = C2 /; г — Cat.
г
t *
Это—семейство векторных линий. В данном случае они образуют семейство прямых, проходящих через начало координат; точнее говоря, векторными линиями здесь являются полупрямые, идущие от начала координат в бесконечность (само начало координат не принадлежит ни одной из векторных линий: в начале координат векторное поле не определено).
